9. Феррорезонанс в цепи с последовательным соединением нелинейной индуктивности и емкости

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов: резистора, катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора.

Рис.1. Схема замещения электрической цепи для исследования феррорезонанса напряжений

По второму закону Кирхгофа для представленного колебательного контура можно записать следующее выражение:

Следует обратить внимание на то, что индуктивность в ферромагнитном элементе меняется в зависимости от величины тока в сети, поэтому она показа функцией от тока -  .

В связи с наличием в расчетной схеме нелинейного элемента, анализ работы данной схемы будем выполнить графоаналитическим способом, с помощью которого получим зависимость изменения напряжения от тока в расчетной схеме сети. Так же следует заметить, чтобы возникло явление феррорезонанса в расчетной схеме (для основной гармоники) необходимо, чтобы вольт-амперные характеристики катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора пересекались.

Вначале рассмотрим характеристику изменения напряжения от тока в расчётной схеме в идеализированном случае: для этого сделаем допущение об отсутствии активных потерь в колебательном контуре. Напряжение на емкости   изменяется  пропорционально изменению тока, тогда как напряжение на катушке индуктивности   изменяется по нелинейной характеристике. Напряжение на емкости и катушке индуктивности сдвинуты по фазе на угол 180 градусов, но для удобства на графике изображены по одну сторону оси. Точка пересечения графиков    и   соответствует феррорезонансу напряжений.

Рис.2. Зависимость напряжения от тока при отсутствии активного сопротивления (вольт-амперная характеристика)

Из полученной характеристики видно, что при постепенном увеличении питающего напряжения (U) до точки [1] величина тока плавно растет (ток по фазе отстает от напряжения, в том числе UL>UC).  В точке [1] при незначительном увеличении напряжения происходит скачок тока, при котором ток резко возрастает до значения, соответствующего точке [2].

При снижении напряжения U до точки [3] величина тока плавно уменьшается, а затем скачком снижается от точки [3] до точки [4].

Явление резкого изменения тока в цепи при незначительном изменении напряжения на входе называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.

В случае наличия активного сопротивления в расчетной схеме (например, при учете активных потерь в стали и в сопротивлении обмотки), зависимость  U(I) приобретает вид, приведенный на рис 3. Данная кривая также имеет несколько участков.

Рис.3. Зависимость напряжения от тока при наличии активного сопротивления (вольт-амперная характеристика)

В заключении следует отметить, что феррорезонанс напряжений в расчетной схеме можно достичь путем изменения напряжения или частоты источника питания схемы, а также путем изменения емкости и параметров катушки со стальным сердечником. 

9. Феррорезонанс в цепи с параллельным соединением нелинейной индуктивности и емкости

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных элементов: резистора, катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора.

Рис.4. Схема замещения электрической цепи для исследования феррорезонанса токов

По первому закону Кирхгофа для представленного колебательного контура можно записать следующее выражение:

Следует обратить внимание на то, что индуктивность в ферромагнитном элементе меняется в зависимости от величины тока в сети, поэтому она показа функцией от тока -  .

В связи с наличием в расчетной схеме нелинейного элемента, анализ работы данной схемы будем выполнить графоаналитическим способом, с помощью которого получим зависимость изменения напряжения от тока в расчетной схеме сети. Так же следует заметить, чтобы можно было достичь феррорезонанса для основной гармоники тока катушки и конденсатора, необходимо, чтобы вольт-амперные характеристики катушки с ферромагнитным сердечником и конденсатора пересекались.

Вначале рассмотрим характеристику изменения напряжения от тока в расчётной схеме в идеализированном случае: для этого сделаем допущение об отсутствии активных потерь в колебательном контуре. Ток, протекающий через емкость,   изменяется  пропорционально изменению напряжения, тогда как ток, протекающий через катушку индуктивности  , изменяется по нелинейной характеристике. Ток, протекающий через емкость, и ток, протекающий через катушку индуктивности, сдвинуты по фазе на угол 180 градусов, но для удобства на графике изображены по одну сторону оси. Точка пересечения графиков    и   соответствует феррорезонансу токов.

Рис.5. Зависимость напряжения от тока при отсутствии активного сопротивления (вольт-амперная характеристика)

Из полученной характеристики видно, что при постепенном увеличении тока I величина напряжения  сначала плавно растет (ток по фазе отстает от напряжения, в том числе UL>UC).  В точке [1] при незначительном увеличении тока происходит скачок напряжения, при котором напряжение резко возрастает до значения, соответствующего точке [2]. Дальнейшее возрастание тока сопровождается плавным увеличением значения напряжения.

При снижении тока I  до точки [3] величина напряжения плавно уменьшается, а затем скачком снижается от точки [3] до точки [4].

Явление резкого изменения напряжения в цепи при незначительном изменении тока источника питания, сопровождающиеся изменением знака угла сдвига фаз между основными гармониками тока и напряжения в цепи,  называется триггерным эффектом в последовательной феррорезонансной цепи.

В случае наличия активного сопротивления в расчетной схеме (например, при учете активных потерь в стали и в сопротивлении обмотки), зависимость  U(I) приобретает вид, приведенный на рис 6. Данная кривая также имеет несколько участков.

Рис.6. Зависимость напряжения от тока при наличии активного сопротивления (вольт-амперная характеристика)

В заключении следует отметить, что феррорезонанс токов в расчетной схеме можно достичь путем изменения тока или частоты источника питания схемы, а также путем изменения емкости и параметров катушки со стальным сердечником. Аналогичные феррорезонансные явления могут наблюдаться в случае линейной индуктивности и нелинейной емкости или нелинейных индуктивности и емкости.

9. Устойчивость режимов работы нелинейной электрической цепи

Режим работы электрической цепи, содержащей нелинейные элементы, может быть устойчивым или неустойчивым. Как правило, режим работы большинства электрических цепей является устойчивым и в значительно меньшем числе случаев — неустойчивым.

Различают устойчивость «в малом» и устойчивость «в большом».

Под устойчивым режимом работы «в малом» понимают такой, при котором достаточно малое отклонение режима работы от исходного (установившегося) — независимо от того, какими причинами оно вызвано, — с течением времени уменьшается и система возвращается в исходное состояние.

При неустойчивом режиме работы «в малом» достаточно малое отклонение с течением времени увеличивается и система не возвращается в исходное состояние.

Устойчивым режимом работы «в большом» называют такой режим работы, при котором система, получив достаточно большое начальное отклонение, возвращается в исходное состояние после прекращения действия возмущения.

Если при достаточно большом отклонении от исходного состояния после прекращения действия возмущения система не возвращается в исходное состояние, то ее называют системой, неустойчивой «в большом».

Различие между устойчивостью «в малом» и устойчивостью «в большом» можно проиллюстрировать с помощью рис. 17.1, а. На этом рисунке изображены желоб с помещенным в нем шариком. Если шарик толкнуть так, что он переместится из положения 1 в положение 2, а затем предоставить его себе самому, то под действием силы тяжести шарик возвращается в исходное положение (положение равновесия). Если шарик толкнуть с большей силой, то он пройдет через положение 3 и выскочит из желоба. Таким образом, система (рис. 17.1, а) устойчива «в малом» и неустойчива «в большом».

Рис. 17.1

В литературе можно встретить также термин «устойчивость по Ляпунову». Системой, устойчивой по Ляпунову, называют систему, для которой можно указать область допустимых отклонений (область 8(e) на рис. 17.1, б) от состояния равновесия (точки 0), для которой ни одно из движений, начинающихся внутри области 8, никогда не достигнет границ некоторой заданной области е.

Размер и форма области 8 зависят от размера и формы области е.

В нелинейных электрических цепях в общем случае возможны следующие режимы (типы движения):

• 1) состояние равновесия;

• 2) периодическое движение при отсутствии в системе источников периодической ЭДС (тока) — автоколебания;

• 3) периодическое движение с частотой источника периодической ЭДС (тока) — вынужденные колебания;

• 4) резонансные явления на высших, низших и дробных гармониках;

• 5) квазипериодические (как бы периодические) процессы по типу автомодуляции, а также ряд других, более сложных типов движений.

Каждый из этих режимов (типов движений) может быть исследован на устойчивость.

В большинстве практических задач производят исследование устойчивости «в малом». Исследование устойчивости «в большом» производят путем анализа хода интегральных кривых на фазовой плоскости или путем использования второго метода Ляпунова. Основы теории устойчивости были разработаны крупнейшим русским математиком А. М. Ляпуновым в 1892 г. и изложены в его книге «Общая задача об устойчивости движения».

9. Расчет цепей с полупроводниковыми приборами

В практических схемах в цепь диода включается какая-либо нагрузка, например резистор (рис. 3.10, а). Прямой ток проходит тогда, когда анод имеет положительный потенциал относительно катода.

Режим диода с нагрузкой называют рабочим режимом. Если бы диод обладал линейным сопротивлением, то расчет тока в подобной схеме не представлял бы затруднений, так как общее сопротивление цепи равно сумме сопротивления диода постоянному току Rо и сопротивления нагрузочного резистора Rн. Но диод обладает нелинейным сопротивлением, и значение Rо у него изменяется при изменении тока. Поэтому расчет тока делают графически. Задача состоит в следующем: известны значения Е, Rн и характеристика диода, требуется определить ток в цепи I и напряжение на диоде Uд.

Рисунок 3.10

Характеристику диода следует рассматривать как график некоторого уравнения, связывающего величины I и U. А для сопротивления Rн подобным уравнением является закон Ома:

                           (3.1)

Итак, имеются два уравнения с двумя неизвестными I и U, причем одно из уравнений дано графически. Для решения такой системы уравнений надо построить график второго уравнения и найти координаты точки пересечения двух графиков.

Уравнение для сопротивления Rн – это уравнение первой степени относительно I и U. Его графиком является прямая линия называемая линией нагрузки. Она строится по двум точкам на осях координат. При I = 0 из уравнения (3.1) получаем: Е − U = 0 или U = Е, что соответствует точке А на рис. 3.10, б. А если U = 0, то I = E/Rн. откладываем этот ток на оси ординат (точка Б). через точки А и Б проводим прямую, которая является линией нагрузки. Координаты точки D дают решение поставленной задачи.

Следует отметить, что графический расчет рабочего режима диода можно не делать, если Rн >> Rо. В этом случае допустимо пренебречь сопротивлением диода и определять ток приближенно: I E/Rн.

Рассмотренный метод расчета постоянного напряжения можно применить для амплитудных или мгновенных значений, если источник дает переменное напряжение.

Поскольку полупроводниковые диоды хорошо проводят ток в прямом направлении и плохо в обратном, то большинство полупроводниковых диодов применяется для выпрямления переменного тока.

Простейшая схема для выпрямления переменного тока показана на рис. 3.11. В ней последовательно соединен источник переменного ЭДС – е, диод VD и нагрузочный резистор Rн. Эта схема называется однополупериодной.

Работа простейшего выпрямителя происходит следующим образом. В течение одного полупериода напряжение для диода является прямым и проходит ток, создающий на резисторе Rн падение напряжения UR. В течение следующего полупериода напряжение является обратным, тока практически нет и UR = 0. Таким образом, через диод, нагрузочный резистор проходит пульсирующий ток в виде импульсов, длящихся полпериода. Этот ток называют выпрямленным током. Он создает на резисторе Rн выпрямленное напряжение. Графики на рис. 3.11, б иллюстрируют процессы в выпрямителе.

Рисунок 3.11

Амплитуда положительных полуволн на диоде очень мала. Это объясняется тем, что когда проходит прямой ток, то большая часть напряжения источника падает на нагрузочном резисторе Rн, сопротивление которого значительно превышает сопротивление диода. В этом случае

 .                      (3.2)