Материал: Ответы на экзамен лето 2 курс

При z, стремящемся к бесконечности, множитель e^kz и напряженность магнитного поля также стремятся к бесконечности, что невозможно из физических соображений, поэтому: A₂ = 0

Окончательное выражение для напряженности магнитного поля примет вид:

Постоянную A₁ определим из граничных условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика (рис.12–1) при z = 0.

H _me H_m0

z

 

Рисунок 12–1

Так как волна распространяется по направлению, перпендикулярному к поверхности проводящей среды, то вектор напряженности магнитного поля в диэлектрике H_me расположен параллельно границе и равен вектору напряженности магнитного поля внутри проводящей среды вблизи ее поверхности H_m0 (ввиду равенства на границе касательных составляющих). Поэтому, зная параметры волны у поверхности проводящей среды в диэлектрике, определяем постоянную A₁ из граничного условия: при z = 0 

Окончательно можем записать:   .

Полученное в комплексном виде решение представим в виде мгновенного значения:

Запишем решение для комплексной амплитуды напряженности электрического поля   :

 .

Отношение комплексных амплитуд электрической и магнитной напряженности определяет волновое комплексное сопротивление ( Z ) проводящей среды для синусоидальной электромагнитной волны:

 .

Это сопротивление имеет вещественную и мнимую часть, что свидетельствует о наличии тепловых потерь в проводнике и сдвиге по фазе (  = + /4), между волнами электрической и магнитной напряженности во временной области. Волновое сопротивление можно представить и в алгебраической форме:

 , причем   , а X - индуктивное сопротивление

Окончательное выражение для комплексной амплитуды напряженности запишем в показательной форме:

 .

9. Электрический и магнитный поверхностный эффект

Переменный электрический ток (в том числе и синусоидальный) в отличие от постоянного неравномерно распределяется по сечению токопровода. При этом всегда существует тенденция вытеснения тока из внутренней части проводника в периферийную. Это явление называютэлектрическим поверхностным эффектом.

Если частота тока и параметры таковы, что глубина проникновения волны много меньше поперечного сечения проводника ( ), то ток в проводнике будет сосредоточен лишь в тонком поверхностном слое, толщина которого практически определяется глубиной проникновения волны. Такой поверхностный эффект называютярко выраженным. Вытеснение тока приводит к увеличению активного сопротивления токопровода по сравнению с его значением при постоянном токе. Если глубина проникновения волны соизмерима с габаритными размерами, то проводник называютпрозрачным и считают, что по сечению этого проводника ток распределяется практически равномерно.

На рис. 30 изображена шина прямоугольного сечения, обтекаемая током I. Поле в шине удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Электрический поверхностный эффект на примере шины прямоугольного сечения. Внутри шины существуют электромагнитное поле и ток проводимости. За пределами шины (удельная проводимость γ=0) ток проводимости (δ=0) отсутствует, но электрическое и магнитное поля существуют.

Рассчитаем распределение поля  и  в объеме прямоугольной шины (рис. 31) и вычислим ее комплексное сопротивление синусоидальному току, если шина  обтекается током I с частотой  .

Мгновенное значение напряженности электрического поля имеет вид:

 .

Плотность тока проводимости определяется из соотношения J_пр = E и равна:

 . (*)

Следует помнить, что в рассматриваемом случае плоской электромагнитной волны векторы напряженности электрического и магнитного поля взаимно перпендикулярны в пространстве. Построим кривые, изображающие качественное распределение напряженности электрического и магнитного поля вдоль оси z для некоторого момента времени (t = 0), принимая, что начальная фаза   (рис.12–2).

x

H _y

z

0

v

E_x

y

Рисунок 12–2

Волна напряженности магнитного поля отстает по фазе от волны напряженности электрического поля на 45 градусов. Амплитуды обеих волн по мере продвижения вдоль оси z вглубь проводника затухают со скоростью, определяемой множителем e^-kz.

Параметры среды:  ,  . Принятое допущение

приводит к уравнению Гельмгольца (индекс х в дальнейшем опустим) относительно вектора электрической напряженности

где

.

Решением уравнения Гельмгольца является совокупность экспоненциальных функций

Запишем общее решение для  , используя второе уравнение Максвелла

.

Поскольку в рассматриваемом случае  , то

С учетом

Далее отыщем постоянные интегрирования  и  . Поскольку исследуемое поле обладает симметрией 

,

следовательно, из имеем

.

Очевидно, что последнее равенство справедливо, если

.

Тогда с учетом условия симметрии

Постоянная интегрирования C пропорциональна заданному в шине току I.Выделим некоторый участок dS=hdz(рис.32). Тогда

.

Учтем далее, что  и получим

.

Отсюда находим

В итоге окончательные выражения для электрической напряженности  имеет вид:

Для магнитной напряженности  :

.

Рассмотрим два варианта:

1)При  ,  , и тогда

.

Таким образом при этих условиях ток равномерно распределяет по шине и поверхностный эффект не проявляется. По мере роста частоты картина изменяется, поскольку с ростом параметра (ра) увеличивается неравномерность распределения тока по сечению шины.

Кроме того, на поверхности шины

,