Материал: Ответы на экзамен лето 2 курс

Рис. 6.2. Система координат для плоской волны

Источник, создающий плоскую однородную волну, находится за пределами рассматриваемой области. Предположим, он расположен со стороны отрицательных значений координаты z (рис. 6.1). Так как среда безгранична, то в рассматриваемой области пространства (z > 0) волна распространяется в положительном направлении оси z. Фронт волны представляет собой бесконечные плоскости, перпендикулярные направлению распространения. Уравнение фронта волны z = const.

Поле плоской однородной волны определим из решения однородных уравнений Гельмгольца (6.12), (6.13)

 (6.16)

 . (6.17)

Векторные уравнения (6.16), (6.17) эквивалентны системе шести скалярных уравнений, решение которых максимально упрощается для плоской однородной волны. Так как волна плоская и однородная, то фазы и амплитуды векторов поля не меняются в плоскости фронта, т.е. не зависят от координат x и y. Искомые комплексные амплитуды   и   являются функциями только одной координаты z. Производные по координатам x и y равны нулю. Далее покажем, что если векторы поля   и   зависят от одной координаты (в данном случае координаты z), то у них отсутствует составляющая по этой координате. Запишем второе уравнение Максвелла в виде системы трех скалярных уравнений

 ;

 ; (6.18).

 .

Из третьего уравнения сразу получаем     . Аналогичным образом из первого уравнения Максвелла получаем   . С учетом проведенного анализа векторное уравнение Гельмгольца (6.16) сводится к двум скалярным уравнениям. Это дифференциальные уравнения второго порядка уже не в частных, а в обыкновенных производных, так как   и   зависят лишь от координаты z

 ; (6.19)

 . (6.20)

Общее решение этих дифференциальных уравнений представляет собой сумму двух экспоненциальных слагаемых

 ; (6.21)

 , (6.22)

где   – амплитуды, определяемые мощностью источника.

Функция   – называется волновым множителем, а так же оператором бегущей волны или фазовым множителем. Покажем, что решение, содержащее множитель   , описывает волновой процесс, распространяющийся с определенной скоростью в положительном направлении оси z (так называемая прямая волна). Проведем рассуждения, например, для первого частного решения (6.21), записав его мгновенное значение.

 . (6.23)

В выражении (6.23)   – амплитуда, (   ) – фаза,   – круговая частота, k – коэффициент фазы. Напряженность электрического поля изменяется в пространстве и во времени. В фиксированной точке пространства, например z = 0, электрическое поле   изменяется во времени по гармоническому закону

 .

Временной интервал, по истечению которого фаза меняется на   , называется периодом T

 . (6.24)

Если зафиксировать время, например t = 0, то распределение   также имеет гармонический характер

 .

Пространственный интервал, по прохождению которого фаза меняется на   вдоль направления распространения, называется длиной волны 

 ,   . (6.25)

Таким образом, частота   переводит временной интервал T в фазу   , а коэффициент k переводит пространственный интервал   в ту же фазу.

Поверхность, удовлетворяющая уравнению постоянства фазы

 , (6.26)

представляет собой фронт волны z = const. В рассматриваемом случае фронт представляет собой бесконечные плоскости, перпендикулярные оси z. Скорость перемещения фронта волны называется фазовой скоростью

.(6.27)

Выражение фазовой скорости (6.27) совпало со скоростью (6.10), входящей в волновые уравнения (6.7), (6.8). Фазовая скорость может быть определена экспериментально через измеренное значение длины волны в интерференционной картине поля, образованной волной падающей на границу раздела сред и отраженной волной. Возвращаемся к уравнению постоянства фазы (6.26). Поскольку время изменяется всегда лишь в одном направлении, уравнение   выполняется, если возрастает координата z, и соответствует перемещению фронта в направлении положительной оси z.

Таким образом, решение (6.23) определяет волну, распространяющуюся в положительном направлении оси z. Мгновенное значение второго решения в (6.21) имеет вид

 . (6.28)

Здесь уравнение постоянства фазы

будет выполняться, если положительным изменениям времени   соответствуют уменьшение координаты   , то есть волна (6.28) распространяется вдоль убывающих значений z (так называемая обратная волна). Эти волны (прямая и обратная) не связаны между собой, так как им соответствуют два линейно независимых решения дифференциального уравнения (6.19). Ранее мы предположили, что источник расположен со стороны отрицательных значений z и в безграничной среде должна существовать только волна (6.23), бегущая в положительном направлении оси z. Поэтому в (6.28) берем   = 0. Все приведенные рассуждения относятся и к уравнению (6.22).

Итак, решение однородного уравнения Гельмгольца (6.16) определяет электрическое поле плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси z

 . (6.29)

Аналогично может быть записано решение однородного уравнения Гельмгольца (6.17) для комплексной амплитуды вектора   . Но уравнения Гельмгольца (6.16) и (6.17) независимы, и теряется связь между комплексными амплитудами векторов поля   и   . Эта связь заложена в уравнениях Максвелла, и необходимо воспользоваться этой дополнительной информацией. По найденному вектору   (6.29) из второго уравнения Максвелла (6.18) определяем напряженность магнитного поля

 (6.30)

 . (6.31)

Значения комплексных амплитуд векторов поля   и   в любой точке пространства связаны коэффициентом пропорциональности, имеющим размерность Ом и называемым характеристическим сопротивлением среды   (буква «c» является начальной буквой английского слова characteristic).

 ,   . (6.32)

По определению, характеристическое сопротивление среды – величина, определяемая отношением поперечных к направлению распространения волны составляющих комплексных амплитуд векторов поля бегущей волны. В нашем случае

 . (6.33)

В идеальной диэлектрической среде (   = 0) сопротивление (6.33) определяется только параметрами среды. Подчеркнем, что сопротивление   есть коэффициент пропорциональности, не связанный в общем случае с тепловыми потерями энергии в среде. Знание характеристического сопротивления данной среды позволяет находить поперечные компоненты магнитного поля в плоской волне по известным поперечным компонентам электрического поля и наоборот.

Искомое уравнение плоской однородной волны, распространяющейся вдоль оси z в идеальной диэлектрической среде, определяется решениями уравнений Гельмгольца (6.16), (6.17) и принимает вид

 ; (6.34)

 . (6.35)

Из четырех поперечных к направлению распространения компонент векторов поля, один компонент имеет знак минус. При этом каждая пара ортогональных составляющих электрического и магнитного полей дают одинаковое направление вектора Пойнтинга. На рис. 6.2а показана ориентация векторов поля (6.34), (6.35) и вектора Пойнтинга волны, распространяющейся вдоль оси z.

Рис. 6.2 а. Ориентация векторов поля и вектора Пойнтинга

Во втором соотношении выражений (6.32) знак минус относится к х-ой составляющей магнитного поля, а не к характеристическому сопротивлению.

Проделаем небольшие преобразования и получим еще одну запись поля плоской однородной волны

 .

Аналогичные преобразования можно проделать с вектором   . В результате получим следующую запись поля плоской волны, распространяющейся вдоль оси z

   . (6.36)

Из выражений (6.36) следует, что векторы   и   перпендикулярны и оба вектора   и   перпендикулярны оси распространения, поэтому плоская однородная электромагнитная волна является поперечной.

Проанализируем полученные результаты. Рассмотрим случай, когда вектор   имеет лишь одну составляющую, например,   , тогда вектор   также будет иметь одну составляющую, перпендикулярную   , в данном случае это составляющая   . Перейдем к их мгновенным значениям

 (6.37)

 . (6.38)

Поверхности равных фаз (фронт волны) определяются уравнением   и представляют собой плоскости, перпендикулярные оси z. Согласно (6.37), (6.38) векторы   и   изменяются синфазно, и их амплитуды не зависят от координат. На рис. 6.3 изображены мгновенные значения векторов   и   (6.37), (6.38) в зависимости от времени в некоторой точке пространства z = z₀, а на рис. 6.4 приведена зависимость   и   от координаты z в некоторый момент времени t = t₀.

Рис. 6.3. Изменение поля плоской волны во времени

Рис. 6.4. Изменение поля плоской волны в пространстве

Из сравнения рисунков следует, что зависимости от времени и от координаты z имеют одинаковый характер. Как было показано в (6.27) такая волна распространяется с фазовой скоростью