Материал: Ответы на экзамен лето 2 курс

что соответствует закону полного тока.

2) При 

,

т.е. при слабо выраженном поверхностном эффекте  изменяется практически по линейному закону. С ростом (ра)начинает проявляться поверхностный эффект.

Магнитный поверхностный эффект.Физическую сущность магнитного поверхностного эффекта можно пояснить на примере катушки с сердечником из литой стали.

На рис. 33 представлен фрагмент шихтованного сердечника в виде стального листа толщиной 2а и высотой h, обтекаемого магнитным потоком  .

Найдем количественные соотношения, характеризующие поверхностный эффект в стальном листе высотой h, толщиной 2а и теоретически бесконечной протяженности.

Рассчитаем распределение магнитного и электрического полей в листе (или шине) при условии  . Данное условие позволяет существенно упростить задачу, так как в этом случае практически по всему сечению листа вектор магнитной напряженности  направлен по оси х

,

а электрической напряженности — по оси у

.

Легко показать, что при оговоренных условиях

,

.

Будем решать задачу относительно вектора  . В синусоидальном поле вектор  удовлетворяет уравнению Гельмгольца  , где  .

Уравнение Гельмгольца для  в декартовых координатах имеет вид

,

а его решение, как и ранее, определяется линейной комбинацией экспоненциальных функций

Вследствие четной симметрии  имеем

.

Отсюда следует, что

Принимая, что

для магнитной напряженности, получим

Используя первое уравнение Максвелла, запишем общее решение для вектора  . В рассматриваемом одномерном варианте

Итак, решение для электрической напряженности имеет вид

.

Пусть, например, задано значение магнитного потока в листе. Выберем в листе полосу и запишем выражение для магнитного потока в листе

Сделаем подстановку и получим

Из этого выражения определим

.

При исследовании поверхностного эффекта в стальных листах удобно задаваться не потоком в листе, а средней индукцией в нем, т.е.

.

В этом случае постоянная С будет

Далее получаем:

,

.

С учетом того, что

,

запишем другое выражение для 

Рассмотрим два варианта:

1)  , при этом значения  ,  . Это случай неявно выраженного поверхностного эффекта, когда стальные пластины считаются «прозрачными»:

,

.

Как видно, электрическая напряженность и плотность вихревого тока в такой пластине распределяются по линейному закону. Магнитная напряженность

.

В прозрачной, пластине поток равномерно распределяется по ее сечению.

2)  , это случай ярко выраженного поверхностного эффекта, когда глубина проникновения волны становится значительно меньше толщины листа, магнитный поток и вихревой ток вытесняются на его боковые поверхности.

Электрический поверхностный эффект в проводнике круглого сечения.На рис. 34 изображено сечение проводника радиусом  с током  . Частота тока —  , удельная проводимость проводника —  . Зададимся целью рассчитать распределение плотности тока и вектора магнитной напряженности в проводнике и получить выражения для его внутреннего комплексного сопротивления. В силу осевой симметрии поле векторов  , ,  в проводнике и окружающем пространстве в цилиндрических координатах (r, a, z) является одномерным, при этом  ,  ,  . В дальнейшем индексы z,  а будут опущены.

В проводящей среде вектор электрической напряженности удовлетворяет уравнению Гельмгольца, которое в цилиндрических координатах для одномерного поля имеет вид

или в развернутой форме записи

Введем новую переменную х, связанную с r линейным соотношением

.

где

.

.

Полученное уравнение является частным случаем общего уравнения Бесселя при k= 0 (k = 0, 1, 2, 3):

.

Решением дифференциальных уравнений, являются специальные цилиндрические функции. В частности, к таковым относятся функции Бесселя порядка k=0, 1,2, первого и второго рода

.

Функцию  называют функцией Бесселя или цилиндрической функцией первого рода, а функцию  — функцией Неймана (Вебера) или цилиндрической функцией второго рода.

В результате при k = 0 решение уравнения представляется в виде линейной комбинации функций Бесселя и Неймана нулевого порядка

,

где  и  — постоянные интегрирования, подлежащие определению.

Из теории цилиндрических функций известно, что при х = 0

,  .

Но так как на оси провода напряженность поля не может обратиться в бесконечность, то постоянную  , следует положить равной нулю  и получить для электрической напряженности более простое решение

или, опуская в дальнейшем индекс ⁽¹⁾,

.

Запишем решение для вектора магнитной напряженности. Из второго уравнения Максвелла

или

.

Из теории цилиндрических функций известно, что

.

Здесь  — функция Бесселя первого порядка первого рода. Таким образом, имеем:

.

Очевидно, что постоянная  , должна быть пропорциональна току в проводе I, величина которого, в соответствии с законом полного тока, связана с магнитной напряженностью поля  простым соотношением

Тогда из этих уравнений имеем

и, следовательно,

,

где

.

Запишем окончательные решения для электрической и магнитной напряженностей. Находим:

,

.

Для плотности тока  имеем