Материал: Ответы на экзамен лето 2 курс

Из полученных уравнений следует, что     , т.е.   =const=0,

и при выбранном направлении осей координат, вектор напряженности магнитного поля имеет лишь единственную составляющую, направленную вдоль оси y: H=H_y. Это означает, что в плоско поляризованной электромагнитной волне в диэлектрике в любой точке векторы напряженности электрического и магнитного поля расположены взаимно перпендикулярно.

Н  айдем решение системы двух оставшихся уравнений:

Д ифференцируя первое уравнение по времени, а второе по координате z, получим:

 ;    , откуда:   , и обозначив   , запишем уравнение для вектора напряженности электрического поля, которое называется волновым уравнением:

При рассмотрении режимов в цепях с распределенными параметрами нами были получены аналогичные уравнения для напряжения в произвольной точке линии без потерь, в которой координата x отсчитывается от начала линии:

 .

Решение для волнового уравнения в линии мы получили в виде суммы прямой и обратной бегущих волн напряжения:

u = u_ + u_ = u^/(x-vt) + u^//(x+vt).

Решение для напряженности электрического поля запишем по аналогии:

E_x = E^/(z-vt) + E^//(z+vt).

Коэффициенты   и   в обоих уравнениях имеют одинаковые размерности, так как в цепях с распределенными параметрами эти параметры задаются на единицу длины линии:

[L] = [] = Гн/м; [C] = []= Ф/м

Выражение для волн тока в линии мы получали с помощью волнового сопротивления:

 ,

здесь через Z обозначено волновое сопротивление линии без потерь, которое по аналогии эквивалентно волновому сопротивлению идеального диэлектрика для электромагнитных волн:

 .

Применив аналогичное преобразование для решения волнового уравнения относительно напряженности электрического поля, получим решения для напряженности магнитного поля:

 .

Полученные решения означают, что векторы E и H в любой точке переменного электромагнитного поля взаимно перпендикулярны, связаны между собой через волновое сопротивление, а электромагнитные волны распространяются в диэлектрике со скоростью v, которая называется скоростью света и в пустоте равна:

В любых диэлектриках ≥₀ и ≥₀, поэтому скорость распространения электромагнитных волн в них меньше или равна скорости света в пустоте vc.

Волновое сопротивление, связывающее между собой напряженности электрического и магнитного поля в прямой и обратной волнах:

 ,

также зависит от свойств диэлектрика и для пустоты равно:

 Ом

Для прямой (или обратной) волны в отдельности можем записать соотношение:

 ;   ;   .

Это означает, что плотности энергии электрического и магнитного поля в любой точке для прямой (или обратной) электромагнитной волны равны друг другу:

 .

Для электромагнитных волн в идеальном диэлектрике можно использовать по аналогии все ранее полученные соотношения для бегущих волн в однородной линии без потерь. В частности, справедливы формулы для определения отраженной и преломленной волн на границе диэлектриков с различными волновыми сопротивлениями. При этом соблюдаются все граничные условия для составляющих векторов напряженности электрического и магнитного поля. Вообще, решение волнового уравнения может быть получено, если заданы граничные и начальные условия для векторов.

9. Плоская электромагнитная волна в диэлектрической однородной и изотропной среде

Одним из важнейших результатов, полученных Максвеллом, явилось доказательство волновой природы переменного во времени электромагнитного поля. Уже утверждалось то, что изменение во времени электрического поля приводит к возникновению вихревого магнитного поля, изменяющегося в пространстве, и наоборот. Докажем волновой характер электромагнитного поля математически. Сведем уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс. Для этого можно взять уравнение Максвелла в виде, не охватывающем явление «первичного возбуждения» электромагнитного поля, то есть без сторонних источников, и исследовать поведение поля за пределами области, где находятся его источники.

Рассмотрим однородную изотропную среду с заданными параметрами   . Для упрощения математических преобразований предположим, что проводимость среды   , то есть это идеальная диэлектрическая среда без потерь. Исходными являются уравнения Максвелла для данной среды

 (6.1)

 (6.2)

 (6.3)

 . (6.4)

Уравнения (6.1) и (6.2) взаимосвязаны, в каждое из них входит и вектор   , и вектор   . При выделении из (6.1) и (6.2) в отдельности вектора   и вектора   приходим к дифференциальным уравнениям второго порядка для каждого вектора. Возьмем ротор от обеих частей уравнения (6.1) и изменим порядок дифференцирования по времени и по пространственным координатам в правой части (6.1)

 . (6.5)

Используем равенство из векторного анализа

 , (6.6)

где   – оператор Лапласа.

Подставляя (6.4) в (6.6) и (6.2), (6.6) в (6.5), приходим к дифференциальному уравнению второго порядка для вектора 

 . (6.7)

Взяв ротор от обеих частей уравнения (6.2), аналогичным образом выводится уравнение для вектора 

 . (6.8)

Коэффициент перед второй производной по времени в уравнениях (6.7), (6.8) имеет размерность сек²/м² , то есть обратно пропорционален квадрату скорости. Каждое из векторных уравнений (6.7), (6.8) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Обозначим через S любую из пространственных составляющих векторов   и   , тогда скалярные уравнения принимают вид

 . (6.9)

Как известно, уравнения вида (6.9) описывают волновые процессы, причем параметр V равен скорости распространения этого процесса. Такие уравнения называют однородными (с правой нулевой частью) уравнениями Даламбера или однородными волновыми уравнениями. Искомая функция S, описывающая волновой процесс, изменяется и в пространстве и во времени. При учете источников волновых процессов правая часть уравнения (6.9) не равна нулю и уравнение называется неоднородным. Волновое уравнение (6.9) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка, решением которого являются функции вида   , где верхний знак соответствует волне, бегущей вдоль направления r, а нижний знак - волне, бегущей в противоположном направлении. Выбор физического решения выполняется на основе знания местоположения источника.

Полученные уравнения для векторов   и   электромагнитного процесса отличаются от (6.9) только тем, что входящие в них функции являются векторными. Уравнения такого типа (6.7), (6.8) называют однородными векторными уравнениями Даламбера или однородными векторными волновыми уравнениями. Входящий в уравнения (6.7), (6.8) параметр

 (6.10)

связан со скоростью распространения электромагнитной волны в среде без потерь.

Для монохроматического поля вновь воспользуемся комплексным представлением мгновенных значений векторов поля, входящих в уравнения (6.7), (6.8)

 ;   . (6.11)

Выполнив дифференцирование по времени в волновых уравнениях (6.7), (6.8) и сократив   , получим волновые уравнения для комплексных амплитуд векторов поля   и 

 (6.12)

 , (6.13)

Величина k имеет размерность рад/м или, короче, м^-1. Для k употребляются также термины коэффициент фазы и волновое число, это одна из важнейших характеристик волнового процесса. В теории гармонических волновых процессов уравнения (6.12), (6.13) получили название однородные векторные уравнения Гельмгольца. Если среда обладает потерями, в общем случае и электрическими, и магнитными, она характеризуется комплексными диэлектрической и магнитной проницаемостями   . Тогда волновое число становится комплексным   и уравнения Гельмгольца принимают вид

 (6.14)

 . (6.15)

Волновые уравнения (6.7), (6.8) для мгновенных значений векторов поля и волновые уравнения (6.12) – (6.15) для комплексных амплитуд векторов монохроматического поля описывают волновые процессы, то есть распространение электромагнитных волн в пространстве. Здесь и в дальнейшем речь пойдет о так называемых свободных волнах, распространяющихся в свободном пространстве (или в неограниченной однородной изотропной среде) и “потерявших” в процессе распространения связь со своими источниками. Ниже изучаются гармонические волны, математическая запись которых является решением волновых уравнений Гельмгольца. При решении волновых уравнений в сферической системе координат получаем математическую запись сферической волны, в цилиндрической системе координат – цилиндрической волны, в декартовой системе координат – плоской волны. В данном разделе будет изучен простейший вид волнового процесса – плоские однородные волны.

Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной среде

Плоской называется электромагнитная волна, векторы   и   которой имеют постоянные фазы на плоскости, ортогональной направлению распространения. Эта плоскость называется фронтом волны, ее называют еще поверхностью равных фаз или волновой поверхностью или синфазной поверхностью. Плоская волна называется однородной, если амплитуды векторов   и   не меняются в плоскости фронта. Возбудить в неограниченном пространстве плоскую однородную волну с помощью реального устройства невозможно, так как при этом источник должен представлять бесконечную синфазную плоскость и затрачивать бесконечную мощность. Понятие плоской однородной волны применяется как простейшая математическая модель, раскрывающая основные свойства свободных электромагнитных волн. В реальных случаях это понятие используется при аппроксимации сложного волнового фронта в локальных условиях пространства. Так на достаточно большом расстоянии от источника малый участок сферического фронта в ограниченных участках пространства из-за малой кривизны можно заменить плоскостью и сферическую волну локально аппроксимировать плоской волной. Например, пусть сферическая волна создается элементарным электрическим вибратором. Рассмотрим электромагнитное поле в дальней зоне в безграничной, однородной изотропной среде без потерь. Предположим, что векторы поля   и   требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника r₀. Под объемом V можно понимать объем приемной антенны с поперечными размерами малыми по сравнению с расстоянием до излучателя. Введем декартову систему координат x, y, z, ось z которой проведена вдоль радиуса – вектора, соединяющего середину вибратора Q с точкой O, принятой за начало координат (рис. 6.1).

Рис. 6.1. К понятию локально плоского фронта волны

Ориентация векторов   и   относительно осей x и y зависит от ориентации вибратора. В общем случае эти векторы могут иметь составляющие по осям х и у. В пределах объема V векторы поля   и   синфазны и поверхности равных фаз определяются уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные направлению распространения по оси z. Таким образом, сферическую волну в пределах области V можно рассматривать как плоскую. Этот вывод относится к любому источнику, излучающему сферическую волну.

Определение поля плоской однородной волны и анализ основных ее параметров проведем в безграничной, однородной, изотропной среде с заданными параметрами   и   . Частным случаем такой идеальной диэлектрической среды является вакуум с параметрами   . Атмосферный воздух по своим параметрам близок к вакууму, так что в большинстве случаев для расчета электромагнитных полей воздух рассматривается как среда с   . Введем декартову систему координат (рис. 6.2).