Материал: Ответы на экзамен лето 2 курс

9. Метод эквивалентных синусоид

В цепи, содержащей безынерционные нелинейный элемент, токи содержат высшие гармоники, даже если приложенное к зажимам цепи напряжение синусоидальное. В тех случаях, когда вопрос о форме кривых тока нас не интересует, можно воспользоваться приближенным методом, основанным на замене действительных несинусоидальных кривых тока и напряжения синусоидальными.

Смысл такой замены заключается в возможности записи уравнения в комплексной форме, в построении векторной диаграммы, хотя комплексные сопротивления нелинейных элементов остаются зависящими от тока.

Возможны два подхода: один состоит в замене несинусоидальных кривых тока и напряжения первыми гармониками этих величин – соответствующий метод называется методом гармонической линеаризации. Данный метод применяется при расчете периодических процессов в нелинейных радиотехнических устройствах, например, в ламповых генераторах, при рассмотрении феррорезонансных явлений; второй состоит в замене несинусоидальных кривых тока и напряжения, так называемыми, эквивалентными синусоидами. Действующие значения этих синусоид считаются равными действующим значениям несинусоидальных величин:

 ;   .

Угол сдвига между эквивалентными синусоидами тока и напряжения должен быть таким, чтобы потери в реальной цепи и в цепи с эквивалентными синусоидами были одинаковы.

Широкое применение метод эквивалентных синусоид находит при расчете индуктивных катушек с ферромагнитным сердечником и трансформаторов. В этих случаях одним из условий выбора эквивалентных синусоид тока и напряжения является сохранение потерь в ферромагнитном сердечнике.

9. Метод кусочно-линейной аппроксимации

Основой метода является замена характеристик нелинейных элементов отрезками прямых линий и формирование для каждого участка систем линейных дифференциальных уравнений, позволяющих использовать эффективные способы расчета линейных электрических цепей. При этом сопряжение частичных решений для отдельных участков выполняется с использованием законов коммутации.

Особенности применения метода рассмотрим на примере расчета тока при подключении нелинейной индуктивности к источнику постоянного напряжения (рис. 7.2, а).

Начальное i(0) = 0 и конечное ioo = V/гзначения тока определяют рабочий участок на характеристике индуктивности 'F(i) (рис. 7.2, б). Аппроксимируем характеристику ломаной линией, содержащей два участка.

Для каждого участка, характеризуемого индуктивностями L = = и L₂ = (Уоо - ЧМ/Ооо - i), справедливо линейное дифференциальное уравнение 

Решение для первого участка 0 < i < ц имеет вид i = А_хе~+ ioo, причем постоянная времени = L^/ги произвольная константа А_{ = -ioo. Подстановка дает результат (рис. 7.2, в)

Рис. 7.2. Анализируемая цепь (а), характеристика индуктивности (б),

кривая тока (в)

Отсюда несложно вычислить момент перехода

На втором участке i<i<< i=""> г'оо решение i = А^е~^~¹^^² + г» с постоянной времени Т2 = L^/r должно удовлетворять условию коммутации i{t) = i, из которого следует А₂ = i- 4>. Подстановка дает для второго участка результат</i<<>

Для обеспечения требуемой точности результата следует увеличивать количество участков аппроксимации, что сопряжено с существенным возрастанием трудоемкости расчета. В практически важных частных случаях для выявления особенностей процессов при расчете используют упрощенную аппроксимацию характеристик. Это особенно важно в цепях при периодических воздействиях. В качестве примера проанализируем работу выпрямителя на полупроводниковом диоде с емкостным фильтром (рис. 7.3, а).

Вольт-амперную характеристику диода заменим идеальной, при которой в прямом направлении (отрезок 1) он имеет нулевое значение напряжения и = 0, а в обратном (отрезок 2) — нулевое значение тока г = 0 (рис. 7.3, б).

При действии на входе синусоидального напряжения V(t) = = n„,sin at и открытом состоянии диода (i > 0) ток определяется соотношением

причем = V,„Vl+ (сот)²//?; 3 = arctgот; т = RC.

При закрытом состоянии диода (и < 0) имеем i = 0 и происходит разряд конденсатора, описываемый выражением

Рис. 73. Схема выпрямителя (а), характеристика диода (б), кривые напряжений и тока (в)

Для получения общего решения следует состыковать записанные соотношения, т.е. определить значение напряжения Uc(t) и моменты времени t_{ и t₂ переходов состояний (рис. 7.3, в). Запирание диода происходит при i = 0, т.е. условии со^ + 9 = 0, из которого получим t = -(l/co)arctgcox. В этот момент искомое напряжение U_c(t) = V_wsin(arctgcox). Отпирание диода произойдет, когда напряжение источника сравняется с выходным, т.е. момент t₂ определяется из условия V^sinco^ ⁼ Uc(tДля этого трансцендентного уравнения невозможно записать аналитическое решение, но для конкретных значений параметров можно найти решение приближенно.

Подобный подход также используют для анализа процессов в цепи с синусоидальным источником V(t) = V_m sin cot и нелинейной катушкой индуктивности (рис. 7.4, а).

Характеристику индуктивности, т.е. зависимость потокосцеп- ления от тока i заменим участками, описываемыми соотношениями i = 0 и 4* = (рис. 7.4, 6).

Дифференциальное уравнение цепи представим в виде

11а участке характеристики, совпадающем с осью ординат (г = 0), все напряжение приложено к индуктивности, т.е. d'V/dt = V_m sin соt (рис. 7.4, в). Решение имеет вид Ф(?) = -(V_m/co)cos cot + А. По начальному состоянию Ч'(О) = -*?_т вычисляем Л = (V_m/co) - ^у?_т и по- лучаем следующее выражение:

На участках Ч* = имеем d'V/dt = 0 и все напряжение приложено к резистору. Момент t можно определить из условия = = -Ч'ет + (У_т/СО)(1 - COSCO^), которое приводит к соотношению

Рис. 7.4. Схема катушки (а), характеристика индуктивности (б), кривые напряжения и тока (в)

cos соt = 1 - 2(co^x?_m/V_m). Полученные выражения позволяют оценить влияние параметров схемы на перемагничивание сердечника.

Применение кусочно-линейной аппроксимации в ряде приложений дает возможность исследовать достаточно сложные явления, такие как возникновение автоколебаний.

9. Потери в ферромагнитных сердечниках при периодическом изменении магнитного потока

Эти потери складываются из потерь на вихревые токи и на гистерезис. Сердечники набирают из тонких листов железа, покрытых лаком (рис. 11.3). Лак служит изоляцией, поэтому потери на вихревые токи уменьшаются. Ток i_e, протекающий по катушке, намотанной на сердечник, создает магнитное поле   , которое проходит по сердечнику вдоль листов.

Это поле индуцирует в сердечнике вихревой ток. Поперечное сечение этой трубки вихревого тока равно ldx, длина трубки ~ 2h. Поле вихревого тока   направленно против поля катушки   . Т.о., в сердечнике действует результирующее поле с индукцией   . Это результирующее поле распределено неравномерно по полю сердечника, т.к. вихревое поле имеет наибольшее значение вдоль оси сердечника. Здесь мы будем пренебрегать этой неравномерностью и полагать, что   всюду по сечению одно и то же.

Рассчитаем ЭДС, индуцируемой вдоль трубки:

 ,

обозначим   , тогда   , где   - коэффициент формы кривой ЭДС.

Действующее значение ЭДС, индуцируемой вдоль трубки, равно:

 ,

Коэффициент формы поля:

 .

В случае синусоиды   ;   ,   , тогда действующее значение равно

 .

Потери внутри трубки тока равны:   , где   - проводимость трубки.

 .

Проинтегрируем полученное выражение.

 , (11.1)

где V=hld – объем сердечника.

Таким образом, потери на вихревые токи при условии   =const пропорциональны квадрату частоты, квадрату амплитуды магнитной индукции, квадрату толщины сердечника и первой степени удельной проводимости. Если сердечник набран из проволок круглого сечения с диаметром d, оси которых направлены вдоль магнитного поля, то в формуле (11.1), вместо 4/3, имеем коэффициент 1/2. Поэтому в общем виде можно записать:

 .

 Было показано, что ферромагнитный сердечник, находящийся в периодическом изменяющемся во времени внешнем магнитном поле, перемагничивается. Это перемагничивание происходит по гистерезисной петле (рис. 11.4), причем, каждой петле соответствует один период изменения внешнего магнитного поля. Поскольку перемагничивание связано с поворотом элементарных токов (магнитов) тела под действием внешнего магнитного поля, то источнику внешнего магнитного поля приходится совершать работу. Эта работа выделяется в теле в виде потерь, называемых потерями на гистерезис. Эти потери в единице объема тела за один цикл перемагничивания оказываются равными площади гистерезисной петли.

 .

Штейнмец предложил экспериментальную формулу вида:

 ,

где   - амплитуда магнитной индукции,   - коэффициент, зависящий от рода материала.

Формула Штейнмеца дает удовлетворительное согласие с экспериментом при   . При   , а также при   лучшее приближение дает формула: