Документ: Методическая разработка к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности Самолето- и вертолетостроение. Бырдин А.П., Иохвидов Е.И, страницы 26-30

Материал: Методическая разработка к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности Самолето- и вертолетостроение. Бырдин А.П., Иохвидов Е.И

Смотрите также:

y 2	2		2		3
	2		2		3
						x 1 .
	3	x	3	x

Критические точки:

x 1 (в этой точке производная обращается в ноль); x 0 (в этой точке производная терпит разрыв).

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы (-∞;-1), (-1;0) и (0;+∞), в каждом из которых производная функции сохраняет знак. Поэтому достаточно определить знак производной в произвольной точке каждого

интервала.	всех x ; 1 и		x 0; выполняется
Для	всех x ; 1 и		x 0; выполняется
неравенство	y 0.	Следовательно,	в	интервалах ; 1 и
0; функция возрастает. Для всех				x 1;0 выполняется
неравенство	y 0.	Следовательно,		в интервале 1;0

функция убывает.

Для наглядности поместим результаты вычислений в таблицу.

x	(-∞; -1)	-1	(-1; 0)	0	(0; +∞)

y	+	0	-	Не сущ.	+

y		1		0

Для отыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем исследуют каждую из них с целью выяснения, есть ли в этой точке минимум или максимум, или же экстремума в ней нет.

Таким образом, при переходе через точку x 1 в направлении возрастания переменной x производная меняет знак «плюс» на знак «минус». Следовательно, точка x 1 является точкой максимума и ymax y( 1) 1. При переходе

24

через точку x 0 производная меняет знак «минус» на знак «плюс». Следовательно, точка x 0 является точкой минимума и ymin y(0) 0.

Задача №2

Составить уравнение касательной и уравнение нормали к данной кривой в точке с абсциссой x0

			y 84						70,						x0 16.
			y 84				x		70,						x0 16.
Решение.	Уравнение							касательной										к кривой			y f (x) в
точке M0(x0, y0)			имеет вид
				y y0 y0(x x0),
а уравнение нормали
			y y0								1			(x x0).
			y y0											(x x0).
												y0
При x0 16			получим y0									8 4					70 16 70 54.
При x0 16			получим y0									8 4				16	70 16 70 54.
																					3
																			1	x			2		.
Найдем	y заданной								кривой:									y 8	1			4	2
Найдем	y заданной								кривой:									y 8				4
																		4			4		x	3
																							x
					2					2			1
												.
Следовательно, y0						3				8		.
			4		16	3				8			4
					16
Уравнение касательной
y 54		1	(x 16)						или x 4y 200 0.
y 54			(x 16)						или x 4y 200 0.
	4

25

Уравнение	нормали:			y 54	1		(x 16),

				1 4
y 54 4(x 16) или	4x y 118 0.
		Задача №3
Найти наибольшее		и	наименьшее значения			функции
y x3 3x 3 на отрезке			3
		3;		.

			2

Решение. Если функция y y(x) непрерывна на отрезке

a;b , то на этом отрезке существует точка, в которой функция принимает наибольшее значение, и точка, в которой функция принимает наименьшее значение. Причем, если функция имеет

на отрезке максимумы в точках							x1, x2, ,xk , то наибольшее
значение			функции y y(x)				на отрезке a;b		равно
наибольшему из чисел
				y(a), y(x1), y(x2), , y(xk), y(b).
	Аналогично, если функция имеет на отрезке минимумы в
точках					то	наименьшее		значение функции
точках		x1	, x2	, ,xm,	то	наименьшее		значение функции
y y(x) на отрезке a;b					равно наименьшему из чисел
								y(b).
				y(a), y(x1), y(x2), , y(xm),				y(b).
	Найдем максимумы и минимумы функции на								отрезке
	3
3;		. Вычислим производную функции:
3;	2	. Вычислим производную функции:
	2
					y 3x2		3.
Точки, подозрительные на экстремум, найдем из условия
				y 0,		т.е. 3x2 3 0.

26

Критические точки: x1 1, x2 1. Наличие экстремума в указанных точках определим с помощью достаточного условия экстремума. Найдем вторую производную функции:

	y 6x.
	6 0, а	y		0, то в точке x 1
Так как y ( 1)	6 0, а	y	(1) 6	0, то в точке x 1
имеется максимум,	а в точке		x 1 –	минимум. Вычислим

значения функции в точках экстремума и на концах заданного отрезка:

y( 1) 5,	y(1) 1,	y( 3) 15,	y(3/2)	15	.

			8

Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции

а наименьшее значение функции

Задача №4

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию

y(x 1)3 (x 1)2

и построить ее график.

Решение. Исследование функции будем проводить, придерживаясь следующей схемы:

1) Найдем область определения функции.

Так как функция представляет собой дробь, знаменатель дроби должен быть отличен от нуля.

x 1 0, x 1.

27

Таким образом, D(y) ( ;1) (1; ).

2) Проверим, является ли функция четной, нечетной, периодической.


y( x)	( x 1)3		( x 1)		3	y(x),
	( x 1)	2	(x 1)	2

y( x) y(x).

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

3) Найдем точки пересечения с осями координат. График функции пересекает оси координат в точках (0;1) и ( 1;0).

4) Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. I. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция разрывна в точке x 1 и

lim y(x) , x 1 0

то прямая x 1 – вертикальная асимптота графика.

II. Наклонные асимптоты.

Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых y kx b ,

где

y(x)

k

lim

;

b

lim

y(x) kx

x

y(x)

k

lim

;

b

lim

y(x) kx

.

x

Вычислим пределы:

k

y(x)

(x 1)3

lim

1;

x x

x x(x 1)2

28

y(x) max 5;1;