Материал: Методическая разработка к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности Самолето- и вертолетостроение. Бырдин А.П., Иохвидов Е.И

lim

lnb .

Задача №7

Вычислить площадь

фигуры,

ограниченной линиями

y x 3

и y 6x x2 7. Сделать чертеж.

Решение. Если фигура ограничена графиками функций

y1(x)

и y2(x) y1(x) y2(x)

и соответствующими

отрезками прямых x a и

x b, то ее площадь вычисляется

по формуле

0

1

3 4

x

6x x2 7 x 3,

x2 5x 4 0,

x1 1,

x2 4.

Найдем площадь фигуры:

4

2

4

2

S

(6x x

7) (x 3)

5x

x

4

dx

dx

1

1

5

x2

1

3

4

9

x

4x

.

2

3

1

2

Задача №8

Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнениями:

y

,

а)

9 x2

0 x 3.

б)

x a(t sint),

0 t 2 .

y a(1 cost),

y f (x) при

a x b, вычисляется по

формуле

b

В рассматриваемом случае 1 y

2

(x)

9

. Поэтому

9 x2

3

dx

x

3

3

L 3

.

3arcsin

3(arcsin1 arcsin0)

2

2

0

9 x

3

0

x x(t),

t ,

то длина

L

дуги этой линии

y y(t),

вычисляется по формуле

L

x

2

(t) y

2

(t) dt.

Поэтому

2

2

2

2

2 t

t

L

2a

(1 cost)dt

2a

2sin

dt 2a sin

dt

2

2

0

0

0

4acos

t

2 4a cos cos0 4a( 1 1) 8a.

2

0

y 1

1

,

y 0,

x 1,

x 3. Сделать чертеж.

x

3

1 2

3

2

1

V

dx

1

1

dx

1

x

1

x

x2

1

3

8

x 2ln x

2ln3 .

x

1

3

0

1

3

x

II.(x ) x 1,в частности

1

1

1

x)

,

(

.

x

2

х

2

x

III.

(logа х) =

1

logа е,

в частности

(ln х)

=

1

.

x

x

IV.

(ax) ax lna, в частности,

(ex) ex .

V.

(sin х) = cos х.

VI.

(cos х) = sin х.

VII.

(tgx) =

1

.

cos2 x

VIII. (ctg x) =

1

.

sin2 x

IX.

(arcsin х) =

1

.

1 x2

X.

(arccos x)

=

1

.

1 x2

XI. (arctg x) =

1

.

1 x2

XII.(arcctg x)

=

1

.

1 x2

XIII.

(sh х) = ch х.

XIV.

(ch х) = sh х.