Документ: Методическая разработка к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности Самолето- и вертолетостроение. Бырдин А.П., Иохвидов Е.И, страницы 31-35

			(x 1)	3
b	lim y(x) kx	lim			x

	x	x	(x 1)2

	(x 1)3 x(x 1)2		5x2		2x 1
lim		lim				5.
	(x 1)2			2
x		x x			2x 1

При x значения коэффициентов k и b не изменятся. Следовательно, при x график имеет наклонную асимптоту y x 5.

5) Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Вычислим первую производную функции.

3

2

(x 1)

3

(x 1)

2

(x 1)

y (x)

(x 1)

2

(x

1)

4

3(x 1)2(x 1)

2 (x 1)3 2(x 1)

(x 1)4

(x 1)2

3(x 1) 2(x 1)

(x 1)2(x 5)

.

(x 1)3

Критические точки: x 1, x 5, x 1.

Функция возрастает для тех значений переменной, при которых y 0, убывает для тех значений переменной, при которых y 0. Таким образом, функция возрастает на промежутках ( ;1) (5; ), убывает на промежутке (1;5).

Точка x 5 является точкой минимума,	y(5)	27	.

	2

6) Найдем промежутки выпуклости вверх или вниз, точки перегиба. Вычислим вторую производную функции.

29

(x 1)

2

(x 5)

y

3

(x)

(x 1)

2

(x 5)

1)

3

(x 1)

2

(x 1)

3

(x

(x 5)

(x 1)6

(2(x 1)(x 5) (x 1)2)(x 1)3 (x 1)2(x 5) 3(x 1)

2

(x 1)6

(x 1) (3x 9)(x 1) 3(x 1)(x 5)

24(x 1)

.

(x 1)4

при

x ( 1; ),

при

Очевидно, что y (x) 0

y (x) 0

x ( ; 1).

Точка

x 1

является

точкой перегиба,

y( 1) 0.

7) Результаты исследования оформим в виде таблицы.

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 1)

(1; 5)

5

(5; +∞)

y

-

0

+

27

+

2

y

+

0

+

-

0

+

0

y

-

0

+

т. п.

30

8) Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с осями координат, точки экстремума, точки перегиба и соединяя их плавной кривой (рис. 1).

y

27

2

0 1

x

Рис. 1

Задача №5

Найти неопределенный интеграл.

а) Интегрирование по частям.

Для решения примеров данного пункта воспользуемся формулой интегрирования по частям:

31

u dv uv v du.

Этот метод удобно применять в следующих случаях.

I. Когда подынтегральное выражение содержит в виде

множителя функции

ln x,

arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, то

в качестве u(x) следует выбирать эти функции.

I x arctgx dx;

2

Положим u arctgx, dv xdx .

Тогда du

dx

, v

x

.

1 x

2

Следовательно,

x2

I arctgx

1

dx

2

1 x2

arctgx

x2

1

(x2 1) 1

dx

2

1 x2

x

2

1

arctgx

1

dx

2

1 x2

x2

1

dx

arctgx

dx

2

1 x2

x2

1

2

x

arctgx

(x arctgx)

x

1 arctgx

C .

2

II.Подынтегральная функция имеет вид P(x)eax,

P(x)sin ax, P(x)cosax, где P(x) – многочлен. Если в качестве u(x) выбрать P(x), то в новом интеграле подынтегральная функция вновь будет принадлежать одному из указанных типов, но степень многочлена будет на единицу меньше.

32

I x2e xdx .	dv e xdx.	Тогда du 2xdx , а v e x .
Положим u x2,	dv e xdx.	Тогда du 2xdx , а v e x .
Значит

Ix2e x 2 x e xdx.

Кполученному интегралу снова применим формулу

интегрирования по частям. Положив u x, dv e xdx,

получим du dx , v e x . Тогда

x e xdx xe x e xdx.

Следовательно,

Ix2e x 2 xe xdx x2e x 2 xe x e xdx

x2e x 2xe x 2e x C .

III.Подынтегральная функция имеет вид eax sinbx ,

eax cosbx, sin(ln x), cos(ln x). После двукратного применения формулы интегрирования по частям, вновь получается исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Полученное равенство является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла.

I sin(ln x) dx.		1
Положим u sin(ln x), dv dx .	Тогда du		cos(ln x),	v x.

Имеем		x

Ix sin(ln x) cos(ln x) dx

x sin(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) dx .

33

Материал: Методическая разработка к контрольной работе № 2 по математике для студентов специальности Самолето- и вертолетостроение. Бырдин А.П., Иохвидов Е.И

Смотрите также: