Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Гауссівське наближення грунтується на центральній граничній теоремі теорії ймовірностей. У найпростішому формулюванні ця теорема виглядає в такий спосіб: якщо випадкові величини , …,  незалежні й однаково розподілені із середнім а й дисперсією , то при  функція розподілу центрованої й нормованої суми

має границю, яка рівна

                                                                (3.1.1)

Існують численні узагальнення центральної граничної теореми на випадки, коли доданки  мають різні розподіли, є залежними й т.д. В даній роботі ми обмежимося твердженням, що якщо кількість доданків велика (звичайно досить, щоб N мало б порядок декількох десятків), а доданки не дуже малі й не дуже різнорідні, те можна застосувати гауссівське наближення для

Звичайно, це твердження дуже невизначене, але й класична центральна гранична теорема без точних оцінок похибки не дає точної вказівки про сферу застосування. Стандартна гауссівська фунція розподілу  детально вивчена в теорії ймовірностей. Існують детальні таблиці як для самої функції розподілу, так і для щільності

Значення  у найбільш цікавому діапазоні  наведені в таблиці 1.

Таблиця 1 Значення

Корисно також мати таблицю квантилів , (- це корінь рівняння ) що відповідають досить малій ймовірності розорення ; вони наведені в таблиці 2.

Таблиця 2. Таблиця квантилів

.2 Моделі довгострокового страхування життя

.2.1 Основні види довгострокового страхування життя

Довічне страхування (whole life insurance)

При цьому виді страхування фіксована страхова сума виплачується в момент смерті.

Оскільки людина рано чи пізно помре, страхова компанія гарантовано виплатить страхову суму (якщо тільки причина смерті не покривається умовами договору, наприклад, якщо смерть наступила в результаті протиправних дій застрахованого). Якщо плата за це покриття повністю вноситься в момент укладання договору, то мова йде про досить велику суму, співмірну зі страховою сумою. Тому звичайно премії виплачуються періодично протягом всього життя або аж до досягнення застрахованим певного віку (скажімо, пенсійного, коли його доходи різко знижуються).

У цьому розділі ми для простоти розрахунків будемо припускати, що по всіх видах страхування, які розглядаються премія повністю вноситься в момент укладання договору.річне тимчасове страхування життя (п-year term life insurance)

При цьому виді страхування виплата фіксованої страхової суми здійснюється в момент смерті, якщо застрахований помер протягом терміну дії договору, тобто протягом п років з моменту укладання договору. Якщо ж застрахований прожив ці п років, то компанія не платить нічого.

У типових випадках імовірність смерті застрахованого протягом терміну дії договору мала, так що премія по цьому виду страхування відносно невелика. Тому тимчасове страхування часто використовують у випадках, коли потрібне покриття на більшу суму.

Страхування зі змінною страховою виплатою (varying benefit insurance)

У розглянутих вище прикладах величина страхової виплати була фіксована й не залежала від моменту виплати. Існують численні види страхування, коли страхове відшкодування може змінюватися. Як приклад можна привести довічне страхування зі страховим відшкодуванням, що безупинно збільшується (continuously increasing whole life insurance). При цьому виді страхування компанія виплачує в момент смерті суму, рівну  (ми вважаємо, що грошові суми вимірюються в нас деякою умовною одиницею). Страхування зі страховою виплатою, що зменшується виникає в кредитному страхуванні життя.

Пожиттєве страхування, відтерміноване на т років (т-year deferred whole life insurance)

При цьому виді страхування виплата фіксованої страхової суми проводиться в момент смерті застрахованого, але тільки якщо вона настала після закінчення m-річного терміну з моменту укладання договору. Якщо застрахований помре раніше, ніж через т років після укладання договору, страхове відшкодування не виплачується зовсім.

За аналогією з довічним страхуванням, відтермінованим на т років, можна ввести й інші види відтермінованого страхування, що узагальнюють раніше введені види звичайного страхування.

Дискретні договори

У всіх описаних вище прикладах страхове відшкодування (benefit) виплачується у вигляді разової суми (lump sum) у момент смерті застрахованого (звичайно, у реальності як укладачу договору, так і компанії потрібен певний час для підготовки документів) - такі види страхування часто називають неперервними. Однак можливі виплати й в інші моменти часу. Найбільш важливий (з теоретичної точки зору) випадок, коли виплата здійснюється не в момент смерті, а в наступний за ним день народження застрахованого - такі види страхування часто називають дискретними. Якщо вважати (як це звичайно робиться при актуарних розрахунках), що вік застрахованого в момент укладання договору - ціле число, то дискретні договори можна описати як договори з виплатою страхової суми в чергову, після моменту смерті, річницю укладання договору.

Наприклад, при довічному страхуванні з виплатою страхової суми наприкінці року смерті страхове відшкодування виплачується в момент

де  - заокруглений час життя. Для кожного з розглянутих раніше неперервних видів страхування існує дискретний аналог з виплатою страхової суми наприкінці року смерті.

У пенсійних схемах центральну роль відіграють договори іншого типу, коли виплата страхової суми здійснюється не у випадку смерті, а у випадку дожиття до певного моменту. Як приклади можна привестирічне чисто накопичувальне страхування (п-year pure endowment insurance)

При цьому виді страхування виплата страхової суми фіксованої величини здійснюється в момент n, якщо застрахований дожив до цього моменту. У випадку смерті застрахованого до моменту п страхова сума не виплачується (однак, як правило таке покриття передбачає повернення всіх внесених премій у випадку смерті застрахованого до закінчення терміну дії договору).річне змішане страхування (п-year endowment insurance)

При цьому виді страхування виплата фіксованої страхової суми здійснюється на наступних умовах. Якщо смерть застрахованого наступить до закінчення терміну дії договору, то страхова сума виплачується в момент смерті. Якщо ж застрахований дожив до закінчення терміну дії договору, то страхова сума виплачується в момент п закінчення терміну дії договору. Неважко зрозуміти, що цей вид страхування виконує функції як власне страхування (тобто забезпечує дохід родині застрахованого у випадку його смерті), так і нагромадження коштів (тобто забезпечує самого застрахованого). Іноді при змішаному страхуванні страхові суми, виплачувані у випадку смерті й у випадку дожиття, відрізняються.

3.2.2 Актуарна сучасна вартість зобов'язань

З математичної точки зору довгострокове страхування (long-term insurance) характеризується тим, що при розрахунках враховується зміна цінності грошей із часом. Тому теорія довгострокового страхування істотно опирається на теорію складних відсотків.

Зокрема, зпівставляючи зобов'язання страхувальника й страховика, ми повинні приводити їх до одного моменту часу. Скажімо, для того, щоб сформулювати принцип еквівалентності зобов'язань у момент укладання договору, ми повинні привести зобов'язання страхувальника й страховика саме до цього моменту. Їхні середні значення називаються актуарними сучасними вартостями зобов'язань.

Нижче ми будемо припускати, що інтенсивність відсотків  не змінюється із часом;  буде позначати ефективну річну процентну ставку,  коефіцієнт дисконтування й т.д.

Крім того, оскільки величина страхової суми, як правило, фіксована, в актуарних розрахунках ми будемо приймати її за одиницю виміру грошових сум.

Величина зобов'язань страхової компанії по договорах страхування життя з разовою виплатою одиничної страхової суми, приведена на момент укладання договору, позначається буквою Z з додатковими індексами, що описують структуру покриття. У всіх випадках вік застрахованого на момент укладання договору вказується у вигляді індекса внизу ліворуч. Якщо страхова сума виплачується в момент смерті («неперервний» договір), то зверху ставиться риска; відсутність верхньої риски означає, що договір - «дискретний», тобто страхове відшкодування виплачується наприкінці року смерті. Термін дії договору вказується через двокрапку після віку застрахованого й обрамлений прямим кутом (зверху й праворуч).

Математичне сподівання приведеної вартості зобов'язань називається їх актуарною сучасною вартістю й позначається буквою A з тими ж індексами, що й змінна Z.

Наприклад, для довічного страхування

для тимчасового страхування

для змішаного страхування

для відкладеного страхування

3.3 Довічні ренти

.3.1 Основні види рент

Повна довічна рента (whole life annuity)

Найпростіша довічна рента може бути описана в такий спосіб. Починаючи з деякого моменту  людина раз у рік починає одержувати певну суму (яку звичайно приймають у якості умовної грошової одиниці). Виплати здійснюються тільки під час життя людини.

Рента може розглядатися як регулярний дохід для одержувача ренти (переважно в старості). З іншого боку, періодичні премії, виплачувані страхувальником за звичайним договором страхування життя, можна розглядати як ренту, одержувану страховою компанією. Тому теорія рент важлива не тільки для розрахунку пенсійних схем, але й для розрахунку періодичних премій.

Тимчасова довічна рента

Нехай, як і раніше,  - теперішній момент, а вік людини, якій виплачується рента - х років. N-річна тимчасова довічна рента (n-year temporary life annuity) визначається як серія виплат одиничної суми, здійснених раз у рік довічно, починаючи з моменту , але не більш, ніж п років. Таким чином, якщо людина проживе ще п років (тобто якщо ), то здійснюється рівно п виплат з випередженням; якщо ж , то здійснюється  виплата.

Відтермінована довічна рента

Нехай, як і раніше,  - дійсний момент, а вік людини, якій виплачується рента - x років. Відтермінована на т років довічна рента (deferred life annuity) визначається як серія виплат одиничної суми, здійснених раз у рік, починаючи з моменту  доти, поки людина жива. Однак якщо людина помре до моменту m, то ні однієї виплати не здійснюється.

Довічні ренти виплачувані із частотою р

У розглянутих вище прикладах передбачалося, що виплати здійснюються один раз у рік (на початку року). Для застосувань до пенсійних схем набагато цікавішим є випадок, коли виплати здійснюються раз на місяць (р = 12), раз у квартал (р = 4), раз у тиждень (р = 52). У стандартних рентах такого виду в якості умовної грошової одиниці розглядається алгебраїчна сума всіх виплат протягом року. Інакше кажучи, кожна окрема виплата має величину 1/р.

Неперервні ренти

Неперервні ренти можна розглядати як граничний випадок рент, виплачуваних із частотою р при . Їх можна представляти як неперервний грошовий потік, що тече зі швидкістю 1.

3.3.2. Оцінювання рент

Метод сумарної виплати

Вартість ренти в початковий момент часу  позначають символом Y з відповідними індексами. Її можна підрахувати двома основними способами. При використанні методу сумарної виплати (aggregate payment technique) довічна рента розглядається як звичайна рента, але з випадковим числом виплат. Це дозволяє одержати явну формулу для сучасної вартості ренти за допомогою формул для детермінованих рент і пов'язати її із сучасною вартістю відповідного виду страхування. Наприклад, для довічної ренти

                                                       (3.1.2)

для тимчасової довічної ренти

                           (3.1.3)

для відкладеної довічної ренти

    (3.1.4)