Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Тарифна ставка визначає, скільки грошей кожний із страхувальників повинен внести в загальний страховий фонд з одиниці страхової суми. Тому тарифи повинні бути розраховані так, щоб сума зібраних внесків виявилася достатньою для виплат, передбачених умовами страхування. Таким чином, тарифна ставка - це ціна послуги, що надається страховиком населенню, тобто своєрідна ціна страхового захисту.

Від чого ж залежать її розміри, як установити ціну на той чи інший вид страхування життя?

Для розрахунку обсягу страхового фонду при страхуванні життя потрібно мати відомості про те, скільки осіб з числа застрахованих доживе до закінчення терміну дії їх договорів страхування і скільки з них щороку може померти; у скількох і в якому ступені настане втрата здоров'я. Кількість виплат, помножена на відповідні страхові суми, дозволить визначити розміри майбутніх виплат, тобто з'явиться можливість дізнатися, у яких розмірах потрібно буде акумулювати страховий фонд.

Тривалість життя окремих людей коливається в широких межах. Вона відноситься до категорії випадкових величин. Теорія ймовірності і статистика досліджують випадкові явища, що мають масовий характер, у тому числі смертність населення. Установлено, що демографічний процес зміни поколінь, що виражається в зміні рівня повікової смертності, підпорядкований закону великих чисел, настільки одноманітному у своїх проявах і настільки достовірному в результатах, що він може бути основою фінансових розрахунків у страхуванні.

Демографічною статистикою виявлена і виражена за допомогою математичних формул залежність смертності від віку людей. Розроблено спеціальну методику складання так званих таблиць смертності, де на конкретних цифрах показується послідовна зміна смертності слідом за віком. Цими таблицями страхові компанії користуються для розрахунку тарифів.

Крім закономірностей, пов'язаних із процесом дожиття і смертності, при побудові тарифів враховується довгостроковий характер операцій страхування життя, оскільки ці договори укладаються на тривалі терміни від трьох і більше років. Протягом усього часу їхньої дії (чи на самому початку терміну страхування при одноразовій сплаті) страхові компанії одержують внески. Виплати ж страхових сум проводяться протягом терміну страхування чи після закінчення визначеного періоду від початку дії договору, якщо настане смерть застрахованого чи він втратить здоров'я.

Тимчасово вільні кошти акумулюються страховою компанією і використовуються як кредитні ресурси. За користування ними сплачується позичковий відсоток. Але якщо при ощадній операції дохід від відсотків приєднується до внеску, то в страхуванні на суму цього доходу заздалегідь зменшуються (дисконтуються) внески страхувальника, що підлягають сплаті. Для того щоб заздалегідь понизити тарифні ставки на той дохід, що буде утворюватись протягом ряду років, використовуються методи теорії довгострокових фінансових розрахунків.

Слайд 4. В актуарній математиці моделі страхування життя умовно ділять на дві великі групи залежно від того, приймається чи ні в розрахунок дохід від інвестування зібраних премій. Якщо ні, то ми говоримо про короткострокове страхування (short-term insurance); в якості такого “короткого” інтервалу ми будемо розглядати інтервал в 1 рік. Якщо ж так, то ми говоримо про довгострокове страхування (long-term insurance). Звичайно, цей поділ умовний і, крім того, довгострокове страхування пов'язане з рядом інших обставин, наприклад, андеррайтингом.

Слайд 5. Найпростіший вид страхування життя полягає в наступному.

Страхувальник платить страховій компанії р грн (ця сума, як уже зазначалося, називається страховою премією - premium); страхувальником може бути сам застрахований або інша особа (наприклад, його роботодавець).

У свою чергу страхова компанія зобов'язується виплатити особі, на користь якої укладений договір, страхову суму (sum assured) b грн у випадку смерті застрахованого протягом року із причин, перерахованих у договорі (і не платити нічого, якщо він не помре протягом року або помре через причину, що не покривається договором).

Страховая сума часто приймається рівної 1 або 1000. Це означає, що премія виражається як частка від страхової суми або на 1000 страхової суми відповідно.

Величина страхової виплати (benefit), звичайно, набагато більша, ніж страхова премія, і знаходження «правильного» співвідношення між ними - одна з найважливіших задач актуарной математики.

Питання про те, яку плату страхова компанія повинна призначати за прийняття на себе того чи іншого ризику, украй складне. При його вирішенні враховується велика кількість різнорідних факторів: імовірність настання страхового випадку, його очікувана величина й можливі флуктуації, зв'язок з іншими ризиками, які вже прийняті компанією, організаційні витрати компанії на ведення справи, співвідношення між попитом та пропозицією по даному виду ризиків на ринку страхових послуг і т.д. Однак основним звичайно є принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії й застрахованого.

В розглянутій вище найпростішій схемі страхування, коли плата за страховку повністю вноситься в момент укладання договору, зобов'язання застрахованого виражається в сплаті премії р. Зобов'язання компанії полягає у виплаті страхової суми, якщо наступить страховий випадок. Таким чином, грошовий еквівалент зобов'язань страховика, X, є випадковою величиною:

У найпростішій формі принцип еквівалентності зобов'язань виражається рівністю р = МХ, тобто, як плата за страховку призначається очікувана величина збитку. Ця премія, як уже зазначалося, називається нетто-премією (net premium).

Купивши за фіксовану премію р грн. страховий поліс, страховик позбавив укладача договору страхування від ризику фінансових втрат, пов'язаних з невизначеністю моменту смерті застрахованого. Однак сам ризик не зник; його прийняла на себе страхова компанія.

Тому рівність р = MX насправді не виражає еквівалентності зобов'язань страхувальника й страховика. Хоча в середньому й страховик, і страхувальник платять ту саму суму, страхова компанія має ризик, пов'язаний з тим, що в силу випадкових обставин їй, можливо, прийдеться виплатити набагато більшу суму, ніж МХ. Страхувальник же такого ризику не має. Тому було б справедливо, щоб плата за страховку включала деяку надбавку l, яка б служила еквівалентом випадковості, що впливає на компанію. Ризикову надбавку часто розраховують, як середньоквадратичне відхилення реальних виплат на одиницю страхової суми за останні роки від сподіваного значення виплат, тобто, від математичного сподівання. Цю надбавку називають ризиковою (або захисною) надбавкою (security loading), а  - відносною ризиковою надбавкою (relative security loading). Розмір ризикової надбавки береться таким, щоб імовірність того, що компанія буде мати втрати по деякому портфелю договорів («розориться»), була досить малою величиною.

Слід зазначити, що реальна плата за страховку (брутто-премія або офісна премія) - більша нетто-премії з ризиковою надбавкою (часто в кілька разів). Різниця між ними дозволяє страховій компанії покрити адміністративні витрати, забезпечити доход і т.д.

Точний розрахунок ризикової надбавки може бути здійснений у рамках теорії ризику.

Слайд 6, 7. Найпростішою моделлю функціонування страхової компанії, призначеної для розрахунку ймовірності банкрутства, є модель індивідуального ризику. Вона базується на наступних спрощених припущеннях:

1) аналізується фіксований відносно короткий проміжок часу (так що можна знехтувати інфляцією й не враховувати прибуток від інвестування активів) - як правило це один рік;

2) кількість договорів страхування N фіксована й невипадкова;

3) премія повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких надходжень протягом цього періоду немає;

4) ми спостерігаємо кожен окремий договір страхування й знаємо статистичні властивості пов'язаних з ним індивідуальних втрат X.

Як правило припускається, що в моделі індивідуального ризику випадкові величини  - незалежні (зокрема, виключаються катастрофи, коли одночасно по декількох договорах наступають страхові випадки).

У рамках цієї моделі «банкрутство» визначається сумарними втратами по портфелю . Якщо ці сумарні виплати більші, ніж активи компанії, призначені для виплат по цьому блоці бізнесу, u, то компанія не зможе виконати всі свої зобов'язання (без залучення додаткових засобів); у цьому випадку говорять про «розорення».

Отже, імовірність «розорення» компанії дорівнює

Іншими словами, імовірність «розорення» - це додаткова функція розподілу величини сумарних втрат компанії за розглянутий проміжок часу.

Оскільки сумарні виплати S являють собою суму незалежних випадкових величин, розподіл випадкової величини S може бути підрахований за допомогою класичних теорем і методів теорії ймовірностей.

Слайд 8. З математичної точки зору довгострокове страхування (long-term insurance) характеризується тим, що при розрахунках враховується зміна цінності грошей із часом. Тому теорія довгострокового страхування істотно опирається на теорію складних відсотків.

Зокрема, зпівставляючи зобов'язання страхувальника й страховика, ми повинні приводити їх до одного моменту часу. Скажімо, для того, щоб сформулювати принцип еквівалентності зобов'язань у момент укладання договору, ми повинні привести зобов'язання страхувальника й страховика саме до цього моменту. Їхні середні значення називаються актуарними сучасними вартостями зобов'язань.

У дипломній роботі наведено приклади знаходження тарифних ставок для різних випадків. Зокрема, розв’язана наступна задача, яка стосується короткострокового страхування життя:

Слайд 9-15 (Задача)

Припустимо, що страхова компанія уклала N = 10000 договорів страхування життя терміном на один рік на наступних умовах: у випадку смерті застрахованого протягом року від нещасного випадку компанія виплачує укладачу договору 400 000 грн., а у випадку смерті від природних причин - 100 000 грн. Компанія не платить нічого, якщо застрахований не помре протягом року. Імовірність смерті від нещасного випадку одна й та сама для всіх застрахованих і дорівнює 0,0005. Імовірність смерті від природних причин залежить від віку. Застрахованих можна розбити на дві вікові групи, що містять  = 4000 і  = 6000 людей, з імовірністю смерті протягом року  = 0,0040 і  = 0,0020 відповідно.

Потрібно підрахувати премію, достатню для виконання компанією своїх зобов'язань із імовірністю 95% без залучення додаткових засобів. Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційною

1) нетто-премії

2) дисперсії виплат за договором;

3) середньому квадратичному відхиленню виплат за договором.

Також розв’язана задача по довгостроковому страхуванні життя:

Слайд 16.

Страхова компанія уклала N = 10000 договорів довічного страхування зі страховою сумою  грн кожний. Припустимо, що залишковий час життя кожного із застрахованих характеризується інтенсивністю смертності , що не змінюється із часом, а інтенсивність відсотків

Підрахуємо величину премії, що гарантувала б 95% імовірність виконання компанією своїх зобов'язань без залучення додаткових коштів.

Обчислена величина періодичних премій Слайд 17.

У дипломній роботі викладаються основні математичні моделі й методи, які використаються для розрахунків характеристик тривалості життя, разових і періодичних премій, страхових надбавок, резервів і т.д. для різних видів страхування життя й пенсійних схем.

Даний поглиблений виклад основних математичних моделей і методів, необхідних для визначення характеристик тривалості життя, разових і періодичних премій, страхових надбавок, резервів і т.д. для різних видів страхування й пенсійних схем.

Задачі, які розв’язані у дипломній роботі мають яскраво виражену практичну спрямованість і дозволяють одержати певне уявлення не тільки про актуарні розрахунки, але й про розробку страхових продуктів, андеррайтингу й т.д. При актуарних розрахунках у довгостроковому страхуванні життя широко використовується теорія складних відсотків. Тому, у дипломну роботу включено розділ „Основи фінансової математики”.