Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Страхування до шлюбу. Договір може бути укладено на користь дітей, котрі постійно проживають в Україні. Вік дитини на день підписання договору не може перевищувати 15 повних років.

Страхова сума виплачується застрахованому при його вступі до законного шлюбу в період з дня укладання договору страхування до досягнення 21 року. При не вступі до шлюбу страхова сума виплачується по дожитті застрахованого до 21 року.

Пенсійне страхування проводиться для осіб похилого віку з метою забезпечення громадян додатковим доходом при виході на пенсію.

Страхування на випадок смерті гарантує виплату відповідної суми у випадку смерті страхувальника.

Змішане страхування життя - вид страхування, який об'єднує в одному договорі кілька самостійних договорів страхування, зокрема три випадки:

­         дожиття до закінчення строку страхування;

­         смерть застрахованого;

­         втрата здоров'я від нещасних випадків.

Страхувальниками в цьому виді страхування є тільки фізичні особи.

Договори змішаного страхування життя укладаються з громадянами віком від 16 до 75 років строком на 3, 5, 10, 15 або 20 років. Розмір страхової суми визначає страхувальник.

При страхуванні на дожиття до закінчення договору страхування страхувальник отримує повну страхову суму, на яку було укладено договір, незалежно від того, отримував він страхові суми у зв'язку з нещасними випадками впродовж дії договору, чи ні.

У разі смерті застрахованого в період дії страхового договору страхова сума в розмірі 100% виплачується правонаступнику, зазначеному в договорі страхування. Природна смерть як наслідок хвороби, старості і т. ін. не є страховим випадком.

При страхуванні від нещасних випадків з настанням страхової події застрахований отримує певний відсоток від страхової суми залежно від ступеня втрати здоров'я. Отримання страхової суми за страховим договором від нещасних випадків не залежить від виплат, на які має право страхувальник з державного соціального та пенсійного забезпечення.

Нещасними випадками за цим видом страхування вважаються:

­         утоплення;

­         опіки, ураження блискавкою або електричним струмом;

­         обмороження;

­         гострі отруєння газами або парами, отруйними та хімічними речовинами, ліками, харчовими продуктами.

Побудова тарифів по страхуванню життя має свої особливості:

1  розрахунки проводяться з використанням демографічної статистики і теорії ймовірності;

2  при розрахунках застосовуються способи довгострокових фінансових розрахунків;

3  тарифні нетто-ставки складаються з кількох частин, кожна з яких покликана сформувати страховий фонд за одним з видів страхової відповідальності, який включений в умови страхування.

Тарифна ставка визначає, скільки грошей кожний із страхувальників повинен внести в загальний страховий фонд з одиниці страхової суми. Тому тарифи повинні бути розраховані так, щоб сума зібраних внесків виявилася достатньою для виплат, передбачених умовами страхування. Таким чином, тарифна ставка - це ціна послуги, що надається страховиком населенню, тобто своєрідна ціна страхового захисту. Від чого ж залежать її розміри, як установити ціну на той чи інший вид страхування життя?

Отже, для розрахунку обсягу страхового фонду потрібно мати відомості про те, скільки осіб з числа застрахованих доживе до закінчення терміну дії їх договорів страхування і скільки з них щороку може вмерти; у скількох і в якому ступені настане втрата здоров'я. Кількість виплат, помножена на відповідні страхові суми, дозволить визначити розміри майбутніх виплат, тобто з'явиться можливість дізнатися, у яких розмірах потрібно буде акумулювати страховий фонд.

Тривалість життя окремих людей коливається в широких межах. Вона відноситься до категорії випадкових величин. Теорія ймовірності і статистика досліджують випадкові явища, що мають масовий характер, у тому числі смертність населення. Установлено, що демографічний процес зміни поколінь, що виражається в зміні рівня повікової смертності, підпорядкований закону великих чисел, настільки одноманітному у своїх проявах і настільки достовірному в результатах, що він може бути основою фінансових розрахунків у страхуванні.

Демографічною статистикою виявлена і виражена за допомогою математичних формул залежність смертності від віку людей. Розроблено спеціальну методику складання так званих таблиць смертності, де на конкретних цифрах показується послідовна зміна смертності слідом за віком. Цими таблицями страхові компанії користуються для розрахунку тарифів.

Крім закономірностей, пов'язаних із процесом дожиття і смертності, при побудові тарифів враховується довгостроковий характер операцій страхування життя, оскільки ці договори укладаються на тривалі терміни від трьох і більше років. Протягом усього часу їхньої дії (чи на самому початку терміну страхування при одноразовій сплаті) страхові компанії одержують внески. Виплати ж страхових сум проводяться протягом терміну страхування чи після закінчення визначеного періоду від початку дії договору, якщо настане смерть застрахованого чи він втратить здоров'я.

Тимчасово вільні кошти акумулюються страховою компанією і використовуються як кредитні ресурси. За користування ними сплачується позичковий відсоток. Але якщо при ощадній операції дохід від відсотків приєднується до внеску, то в страхуванні на суму цього доходу заздалегідь зменшуються (дисконтуються) внески страхувальника, що підлягають сплаті. Для того щоб заздалегідь понизити тарифні ставки на той дохід, що буде утворюватись протягом ряду років, використовуються методи теорії довгострокових фінансових розрахунків.

Тарифні ставки в страхуванні життя складаються з кількох частин. Візьмемо для прикладу змішане страхування життя. У ньому поєднуються кілька видів страхування, що могли б бути і самостійними:

­         страхування на дожиття;

­         страхування на випадок смерті;

­         страхування від нещасних випадків.

По кожному з них за допомогою тарифу створюється страховий фонд, тому тарифна ставка в змішаному страхуванні складається з трьох частин, що входять у нетто-ставку, і четвертої частини - навантаження.

Аналогічно складається структура тарифних ставок і по інших видах страхування життя.

Структура тарифної ставки наведена на рис. 1.

Рис. 1. Структура тарифної ставки змішаного страхування життя

РОЗДІЛ 2. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ ДО АКТУАРНИХ РОЗРАХУНКІВ

2.1 Основи фінансової математики

.1.1 Процентні ставки

Ефективна процентна ставка

Поняття відсотків на капітал виникає в наступній найпростішій ситуації.

Припустимо, що в момент t ми позичаємо суму C (наприклад, кладемо на свій рахунок у банку, вносимо плату за страховку, перераховуємо пенсійний внесок у пенсійний фонд і т.д.). Через час h ми можемо розраховувати на певний прибуток  від інвестування нашого капіталу С. Сума  є винагородою за те, що наші засоби використовувалися іншою людиною. Звичайно її вимірюють у відносних одиницях; величина  називається ефективною процентною ставкою (effective rate of interest) або нормою прибутковості за розглянутий проміжок часу (t, t+h).

Прості й складні відсотки

Припустимо тепер, що сума C може інвестуватися на два послідовних проміжки часу; нехай  k = 1, 2, - ефективна процентна ставка на k-му проміжку. Існують дві схеми обчислення доходу  на об'єднаному інтервалі:

.        Принцип простих відсотків (simple interest) припускає, що відсотки нараховуються тільки на основний капітал. Тому  Відповідно, підсумкова процентна ставка

.        Принцип складних відсотків (compound interest) припускає, що відсотки нараховуються не тільки на основний капітал, але й на вже зароблені відсотки. Тому наприкінці другого інтервалу часу основний капітал C виросте до величини

                                                            (2.1.1)

Відповідно, підсумкова процентна ставка i визначається з умови  тобто

Принцип складних відсотків фактично означає, що інвестор може вільно розпоряджатися своїми засобами. Тому в актуарной математиці прийнято використовувати принцип складних відсотків при визначенні доходу від вкладення засобів.

Процентні ставки, які використовуються в більшості розрахунків в актуарній математиці, визначаються, виходячи з консервативних оцінок прибутковості реальних майбутніх інвестицій страховика. Вони набагато нижчі від реальних процентних ставок, які є на ринку для різних видів інвестиційних проектів. Їхнє призначення полягає в тому, щоб хоч як-небудь урахувати збільшення об’єму грошей, внесених як плату за страхове покриття. Тому їх називають технічними процентними ставками [6]. Насправді страхова компанія заробляє набагато більші відсотки; більше того, це одине із самих головних (якщо не саме головне) джерело доходу страховика.

Накопичення

Виберемо деякий проміжок часу в якості одиничного (як правило, це буде один рік) і припустимо, що процентна ставка за цей проміжок дорівнює i. Припустимо, що в момент  сума  інвестується на t одиниць часу. З принципу складних відсотків слідує, що в момент  капітал C перетвориться в суму  Величину  деколи називають коефіцієнтом нагромадження або відсотковим множником за час t (див. Додаток 2).

Інтенсивність відсотків

Інтенсивність відсотків (force of interest)  - це миттєва відносна швидкість нагромадження засобів

                         (2.1.2)

Оскільки  коефіцієнт нагромадження за час t задається формулою

Інтенсивність відсотків зручно використати для вивчення нагромаджень у випадку, коли процентні ставки змінюються. У цьому випадку

 і

Номінальні процентні ставки

Розглянемо проміжок часу довжиною 1/р. Якщо за одиницю виміру прийняти один рік, та найцікавішими є випадки: р = 12 (розглянутий проміжок часу дорівнює одному місяцю), р = 4 (розглянутий проміжок часу дорівнює одному кварталу), р = 2 (розглянутий проміжок часу дорівнює півріччю).

Ефективна процентна ставка  за цей проміжок часу рівна

                                                          (2.1.3)

Однак у фінансовій математиці прийнято характеризувати прибутковість вкладення засобів на проміжку 1/р не ефективною (тобто реальною) процентною ставкою , а так званою номінальною процентною ставкою (nominal rate of interest)

                                                                             (2.1.4)

Іноді величину  називають номінальною процентною ставкою, виплачуваною ( нараховуваною) із частотою р (nominal rate of interest payable (convertible) p thly).

.1.2 Приведена вартість

Припустимо, що в момент  у майбутньому ми повинні будемо виплатити деяку суму С. Щоб до моменту t мати точно необхідну суму C, у даний час  потрібно мати у своєму розпорядженні суму  тому що після інвестування на час t сума Р перетвориться в суму  Величина Р називається сучасною вартістю (present value) суми С у момент t. Іноді вживається термін сучасна цінність, приведена вартість і т.д.

Величину  називають коефіцієнтом дисконтування (обліку) (discount factor). З її допомогою формулу для приведеної вартості можна записати у вигляді

Облікова ставка

Припустимо, що в момент  ми позичаємо суму С. Тоді в момент  нам повинні повернути суму  що складається із двох частин: повернення основного капіталу С и відсотків на капітал .

Якщо суму  що повинна бути виплачена в момент t=1, привести до моменту  то ми одержимо суму  Тому, якщо відсотки на капітал можуть бути виплачені заздалегідь, у момент  одержання позики, то ці відсотки, виплачувані наперед, становлять  від суми позики С. Величина d називається ефективною обліковою ставкою [6] (effective rate of discount) за одиницю часу.

Облікова ставка d може бути виражена й через інтенсивність відсотків  і коефіцієнт дисконтування v.

Припустимо тепер, що сума C=1 дається в борг на час 1/р із завчасною виплатою відсотків. Як ми бачили, ефективна процентна ставка рівна  Саме ця сума повинна бути виплачена в момент t = 1/р у вигляді відсотків. Якщо її привести до моменту  то вона перетвориться в суму  Оскільки  для ефективної облікової ставки  за час 1/р одержимо формулу

                                                                    (2.1.5)

Однак у фінансовій математиці прийнято працювати не з ефективними (тобто реальними) дисконтними ставками за час 1/р, а з так званими номінальними (тобто умовними, що не існують реально) обліковими ставками (nominal rate of discount)

Величину  називають номінальною обліковою ставкою, що нараховується із частотою р (nominal rate of discount convertible p thly).

2.1.3 Оцінювання серії платежів. Детерміновані ренти

Якщо ми хочемо оцінити серію виплат, які повинні бути здійснені в різні моменти часу, то всі ці виплати повинні бути приведені до деякого фіксованого моменту  після чого ці виплати можна додавати, порівнювати й т.д. З погляду застосування до страхування й пенсійних схем найбільш важливою є задача визначення сучасної вартості а серії з п виплат величиною  відповідно, які будуть зроблені в деякі моменти  у майбутньому. Величина а може розглядатися, наприклад, як сума, яку людина повинен внести в пенсійний фонд у момент укладання договору (цей момент звичайно приймають за початковий) для того, щоб у майбутньому, у моменти , одержувати пенсію величиною.