Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

                             (2.1.13)

Серія з п виплат величиною 1, 2, …, n, зроблених на початку проміжків (0,1),.. ., (п-1, n), тобто в моменти  називається зростаючою рентою з випередженням (increasing immediate annuity). Її приведена цінність у момент  позначається

                         (2.1.14)

2.1.4 Прибутковість інвестиційних проектів

Інвестиційний проект - це угода, згідно якої інвестор у певні моменти часу  вкладає кошти в розмірі  відповідно, а потім у моменти  одержує дохід у розмірі  відповідно.

Моменти  коли інвестор вкладає кошти, не зобов'язані передувати моментам , коли інвестор одержує дохід (хоча для застосувань до страхування це, як правило, має місце), а можуть чергуватися.

Для спрощення теоретичних міркувань зручно розглядати об'єднану послідовність моментів часу  і вважати, що

.        якщо  то в момент  проект приносить прибуток у розмірі

.        якщо  то в момент  проект приносить негативний дохід у розмірі

Послідовність  називається чистим грошовим потоком.

Найпростішою мірою прибутковості інвестиційного проекту є внутрішня ставка прибутковості (internal rate of return - IRR). Ця величина задовольняє наступне рівняння прибутковості (yield equation):

Загалом кажучи, рівняння прибутковості має декілька дійсних коренів. Інтерпретувати як процентну ставку можна лише корінь, що більше, ніж -1; при цьому лише позитивний корінь означає власне дохід. Зрозуміло, що якщо не робити ніяких припущень про структуру інвестиційного проекту, то рівняння прибутковості може мати кілька таких коренів. У цьому випадку вважають, що внутрішня ставка прибутковості не визначена.

У застосуваннях до страхування життя доводиться мати справу із проектами, у яких всі негативні платежі передують позитивним. Для таких проектів рівняння прибутковості має єдиний корінь  який приймають у якості IRR. Якщо, крім того, сума абсолютних величин всіх негативних платежів менша, ніж сума всіх позитивних, то цей корінь рівняння прибутковості позитивний.

2.2 Характеристики тривалості життя

2.2.1 Час життя як випадкова величина

Невизначеність моменту смерті є основним фактором ризику для страхування життя. Тому, створення адекватної теорії для страхування життя повинне починатися з розробки системи понять і означення величин, які дозволяють висловлювати об’єктивне твердження про тривалість життя. Основним є наступний висновок.

Відносно моменту смерті окремої людини неможливо сказати нічого визначеного. Однак, якщо ми маємо справу з великою однорідною групою людей і не цікавимося долею окремих людей з цієї групи, то ми знаходимося в рамках теорії ймовірностей як науки про масові випадкові явища, які володіють властивістю стійкості частот. Відповідно, ми можемо говорити про тривалість життя як про випадкову величину T.

Функція виживання

В теорії ймовірностей описують стохастичну природу будь-якої випадкової величини T функцією розподілу , яка визначається як ймовірність того, що випадкова величина T менша, ніж число x:

В актуарій математиці прийнято працювати не з функцією розподілу, а з додатковою функцією розподілу [9]  Застосовуючи до тривалості життя  - це ймовірність того, що людина доживе до віку x років. Функція

називається функцією виживання (survival function):

Функція виживання володіє наступними характеристичними властивостями:

.        спадає (при );

.       

.       

.        неперервна.

В таблицях тривалості життя як правило вважають, що існує деякий граничний вік (limiting age)  (переважно, =100-120 років) і відповідно  при . При описанні смертності аналітичними законами переважно вважають, що час життя необмежений, однак підбирають вид і параметри законів так, щоб ймовірність життя понад деякий вік була б нескінечно мала.

Функція виживання має простий статистичний зміст. Припустимо, що ми спостерігаємо за групою з  новонароджених (як правило, =100000) і можемо фіксувати моменти їх смерті. Позначимо кількість живих представників цієї групи у віці x через . Тоді:

Символ M тут і нижче використовується для позначення математичного сподівання. Отже, функція виживання  рівна середній частці доживших до віку x з деякої фіксованої групи новонароджених.

В актуарій математиці часто працюють не з функцією виживання , а з тільки що введеною величиною  (зафіксувавши початковий розмір групи

Крива смертей

В теорії ймовірностей прийнято описувати стохастичну природу неперервних випадкових величин щільністю  яка може бути визначена як похідна від функції розподілу. В актуарій математиці графік щільності тривалості життя  (чи, що практично одне і те ж, графік функції  називають кривою смертей (the curve of deaths). Величина  має простий статистичний зміст. Розглянемо середню кількість представників вихідної групи з  новонароджених, які померли у віці x років; ця величина позначається  і рівна  Тоді

Функція виживання  може бути відновлено по щільності

тому крива смертей може бути використана у якості первісної характеристики тривалості життя.

Інтенсивність смертності

Величина

називається інтенсивністю смертності (the force of montality). Для людини, яка дожила до x років при малих t величина  наближено виражає ймовірність смерті у інтервалі (x, x+t).

Оскільки функція виживання  може бути відновлена по інтенсивності смертності:

інтенсивність смертності може бути використана у якості первинної характеристики тривалості життя.

Макрохарактеристики тривалості життя

З практичної точки зору важливими є наступні макрохарактеристики смертності:

) середній час життя

2) дисперсія часу життя

де

) медіана часу життя  яка визначається як корінь рівняння

Медіана часу життя - це вік, до якого доживає рівно половина представників вихідної групи новонароджених.

Аналітичні закони смертності

Для спрощення розрахунків, теоретичного аналізу і т.д. природно спробувати описати одержувані емпіричним шляхом дані про функцію виживання чи інтенсивності смертності за допомогою простих аналітичних формул.

Просте наближення було введено у 1729 році де Муавром (de Moivre), який запропонував рахувати, що час життя рівномірно розподілений на інтервалі , де  - граничний вік. В моделі де Мавра при

Порівняння графіків цих функцій з реальними графіками функції виживання , функції смертей f(x), інтенсивності смертності показує, що закон де Мавра є не дуже хорошим наближенням. Наприклад, перши формула означає, що крива смертей f(x) є горизонтальною лінією, у той час як емпіричні дані вказують на пік у районі 80 років.

В моделі, яку запропонував у 1825 році п. Гомпертць (Gompertz), інтенсивність смертності  наближається показниковою функцією виду , де  і  - деякі параметри. Відповідна функція виживання s(x) має вигляд

                                                            (2.2.1)

а крива смертей

Мейкхам (Makeham) у 1860 році узагальнив попередню модель, наблизивши інтенсивність смертності  функцією виду  Постійний доданок A дозволяє врахувати ризики для життя, пов’язані з нещасними випадками (які мало залежать від віку), у той час як доданок  враховує вплив віку на смертність. У цій моделі

                                        (2.2.2)

Другий закон Мейкхама, введений у 1889 році, наближає інтенсивність смертності  функцією виду  У цій моделі

                  (2.2.3)

Вейбулл (Weibull) у 1939 році запропонував наближати інтенсивність смертності  більш простою функцією виду  У цій моделі

                  (2.2.4)

2.2.2 Залишковий час життя

Страхова компанія має справу з конкретними людьми, які дожили до певного віку. Статистичні властивості часу життя таких людей суттєво відрізняються від властивостей часу життя новонароджених. Якщо людина у віці x років звернулася у страхову компанію (в актуарій математиці таку людину позначають через (x)), то відомо, що вона дожила до віку x років, і тому усі випадкові події, пов’язані з цією людиною, повинні розглядатися при умові, що

Для людини у віці x років переважно розглядають не тривалість життя Т, а залишковий час життя  Розподіл випадкової величини  - це умовний розподіл величини  при умові, що

Відповідна функція виживання  задається формулою:

тому щільність  випадкової величини  може бути підрахована за формулою:

Інтенсивність смертності, пов’язана з величиною  якщо

Це співвідношення означає, що інтенсивність смертності через час t для людини, якій зараз x років, рівна інтенсивності смертності у віці x+t для новонародженого. Іншими словами, інтенсивність смертності у даному віці x+t не залежить від вже прожитих років.

Основні величини, пов’язані з залишковим часом життя

Ймовірність (тобто ймовірність смерті людини віку x років на протязі найближчих t років) в актуарій науці позначається символом  З наведених вище формул для  випливає, що