Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Реальні статистичні дані про смертність доступні у виді таблиць, у які входять ймовірності , величини   і т.д. для цілочисельних значень віку x. Це означає, що всі формули в актуарій математиці повинні бути приведені до вигляду, коли в них включаються тільки ці величини. Однак всі основні формули для розрахунку премій, резервів і інших величин, необхідних для ведення страхового бізнесу, містять інтеграли (з підінтегральною функцією, яка включає функцію виживання  Таким чином, ми повинні знати функцію виживання для всіх дійсних значень аргументу x, а не тільки для цілих.

Ця задача може розглядатися як задача інтерполяції. В актуарій математиці як правило вирішують цю задачу, постулюючи той чи інший вид функції s(x) між вузлами інтерполяції, тобто отримують шукану функцію s(x), склеюючи в цілочисельних точках більш прості функції. Основними є три наступних постулати.

Рівномірний розподіл смертей

Самою простою є інтерполяція лінійними функціями:

Записуючи x у вигляді

=n+t

де  цій формулі можна надати вигляду:

Для щільності f(x) це наближення дає:

Відповідно для інтенсивності смертності  ми маємо наступне наближення:

чи, що те саме,

Зазначимо, що в цілочисельних точках щільність f(x) і інтенсивність смертності  не визначені.

Один з найбільш важливих наслідків припущення про лінійну інтерполяцію функції виживання полягає у наступному. Розглянемо величину (n - ціле,  Для неї маємо:

Отже, в припущенні про лінійну інтерполяцію функції виживання ймовірність смерті на протязі частини року пропорційна величині цієї частини.

Правильним є і обернене твердження, якщо ймовірність смерті на протязі (початкової) частини року пропорційна величині цієї частини (тобто ), то для дробових значень змінної x (між двома сусідніми цілими значеннями) функція виживання є лінійною.

Введемо тепер наступну величину , яка рівна дробовій частині величини

Таким чином

де  - заокруглений час життя. Величина  описує момент смерті серед року.

Для інтерполяції, яка розглядається

)        випадкова величина  рівномірно розподілена на (0, 1);

)        випадкові величини  і  - незалежні.

Правильним є і зворотне твердження, якщо випадкова величина  рівномірно розподілена на (0, 1) і не залежить від  то для дробових значень x (між двома сусідніми цілими) функція виживання є лінійною.

Постійна інтенсивність смертності

Якщо наближати функцію виживання s(x) на відрізку  показниковою функцією  то

Записуючи x у вигляді

де  цій формулі можна надати вигляду

Для щільності f(x) це наближення дасть

Звідси для інтенсивності смертності  ми маємо наступне наближення:

тобто даній інтерполяції відповідає припущення про постійну інтенсивність смертності між двома днями народження.

Припущення Балдуччі (Balducci) [9]

Припущення Балдуччі зовні подібне на припущення про рівномірний розподіл смертей, однак, на відміну від останнього, лінійними функціями інтерполюється  Це приводить до наступних формул (нижче

             (2.2.7)

Один з найбільш важливих наслідків припущення Балдуччі полягає у наступному. Розглянемо величину  (ймовірність такого виду з’являється при оцінці для дробових моментів часу). Для неї маємо:

Отже, в припущенні Балдуччі ймовірність смерті до чергового дня народження пропорційна часу, який залишився до цього дня народження.

Правильним є і зворотне твердження: якщо ймовірність смерті до чергового дня народження пропорційна часу до цього дня народження (тобто  то для виду функції виживання для дробових значень x (між двома сусідніми цілими) істинне припущення Балдуччі.

РОЗДІЛ 3. ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

.1 Моделі короткострокового страхування

В актуарній математиці моделі страхування життя умовно ділять на дві великі групи залежно від того, приймається чи ні в розрахунок дохід від інвестування зібраних премій. Якщо ні, то ми говоримо про короткострокове страхування (short-term insurance); в якості такого “короткого” інтервалу ми будемо розглядати інтервал в 1 рік. Якщо ж так, то ми говоримо про довгострокове страхування (long-term insurance). Звичайно, цей поділ умовний і, крім того, довгострокове страхування пов'язане з рядом інших обставин, наприклад, андеррайтингом.

Найпростіший вид страхування життя полягає в наступному.

Страхувальник платить страховій компанії р грн (ця сума, як уже зазначалося, називається страховою премією - premium); страхувальником може бути сам застрахований або інша особа (наприклад, його роботодавець).

У свою чергу страхова компанія зобов'язується виплатити особі, на користь якої укладений договір, страхову суму (sum assured) b грн у випадку смерті застрахованого протягом року із причин, перерахованих у договорі (і не платити нічого, якщо він не помре протягом року або помре через причину, що не покривається договором).

Страховая сума часто приймається рівної 1 або 1000. Це означає, що премія виражається як частка від страхової суми або на 1000 страхової суми відповідно.

Нетто-премія

Величина страхової виплати (benefit), звичайно, набагато більша, ніж страхова премія, і знаходження «правильного» співвідношення між ними - одна з найважливіших задач актуарной математики.

Питання про те, яку плату страхова компанія повинна призначати за прийняття на себе того чи іншого ризику, украй складне. При його вирішенні враховується велика кількість різнорідних факторів: імовірність настання страхового випадку, його очікувана величина й можливі флуктуації, зв'язок з іншими ризиками, які вже прийняті компанією, організаційні витрати компанії на ведення справи, співвідношення між попитом та пропозицією по даному виду ризиків на ринку страхових послуг і т.д. Однак основним звичайно є принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії й застрахованого.

В розглянутій вище найпростішій схемі страхування, коли плата за страховку повністю вноситься в момент укладання договору, зобов'язання застрахованого виражається в сплаті премії р. Зобов'язання компанії полягає у виплаті страхової суми, якщо наступить страховий випадок. Таким чином, грошовий еквівалент зобов'язань страховика, X, є випадковою величиною:

У найпростішій формі принцип еквівалентності зобов'язань виражається рівністю р = МХ, тобто, як плата за страховку призначається очікувана величина збитку. Ця премія, як уже зазначалося, називається нетто-премією (net premium).

Ризикова надбавка

Купивши за фіксовану премію р грн. страховий поліс, страховик позбавив укладача договору страхування від ризику фінансових втрат, пов'язаних з невизначеністю моменту смерті застрахованого. Однак сам ризик не зник; його прийняла на себе страхова компанія.

Тому рівність р = MX насправді не виражає еквівалентності зобов'язань страхувальника й страховика. Хоча в середньому й страховик, і страхувальник платять ту саму суму, страхова компанія має ризик, пов'язаний з тим, що в силу випадкових обставин їй, можливо, прийдеться виплатити набагато більшу суму, ніж МХ. Страхувальник же такого ризику не має. Тому було б справедливо, щоб плата за страховку включала деяку надбавку l, яка б служила еквівалентом випадковості, що впливає на компанію. Цю надбавку називають ризиковою (або захисною) надбавкою (security loading), а  - відносною ризиковою надбавкою (relative security loading). Розмір ризикової надбавки береться таким, щоб імовірність того, що компанія буде мати втрати по деякому портфелю договорів («розориться»), була досить малою величиною.

Слід зазначити, що реальна плата за страховку (брутто-премія або офісна премія) - більша нетто-премії з ризиковою надбавкою (часто в кілька разів). Різниця між ними дозволяє страховій компанії покрити адміністративні витрати, забезпечити доход і т.д.

Модель індивідуальних втрат

Точний розрахунок ризикової надбавки може бути здійснений у рамках теорії ризику.

Найпростішою моделлю функціонування страхової компанії, призначеної для розрахунку ймовірності банкрутства, є модель індивідуального ризику. Вона базується на наступних спрощених припущеннях:

1) аналізується фіксований відносно короткий проміжок часу (так що можна знехтувати інфляцією й не враховувати прибуток від інвестування активів) - як правило це один рік;

2) кількість договорів страхування N фіксована й невипадкова;

3) премія повністю вноситься на початку аналізованого періоду; ніяких надходжень протягом цього періоду немає;

4) ми спостерігаємо кожен окремий договір страхування й знаємо статистичні властивості пов'язаних з ним індивідуальних втрат X.

Як правило припускається, що в моделі індивідуального ризику випадкові величини  - незалежні (зокрема, виключаються катастрофи, коли одночасно по декількох договорах наступають страхові випадки).

У рамках цієї моделі «банкрутство» визначається сумарними втратами по портфелю . Якщо ці сумарні виплати більші, ніж активи компанії, призначені для виплат по цьому блоці бізнесу, u, то компанія не зможе виконати всі свої зобов'язання (без залучення додаткових засобів); у цьому випадку говорять про «розорення».

Отже, імовірність «розорення» компанії дорівнює

Іншими словами, імовірність «розорення» - це додаткова функція розподілу величини сумарних втрат компанії за розглянутий проміжок часу.

Оскільки сумарні виплати S являють собою суму незалежних випадкових величин, розподіл випадкової величини S може бути підрахований за допомогою класичних теорем і методів теорії ймовірностей.

Насамперед - це використання згорток. Нагадаємо, що якщо  і  - дві незалежні невід’ємні випадкові величини з функціями розподілу  і  відповідно, то функція розподілу їх суми  може бути підрахована по формулі

Застосовуючи цю формулу декілька разів, можна підрахувати функцію розподілу суми будь-якої кількості доданків.

Якщо випадкові величини  і  - неперервні, то працюють із щільностями   Щільність суми може бути підрахована по формулі

Якщо випадкові величини  і  - целочисельні, то замість функцій розподілу як правило працюють із розподілами

Розподіл суми  може бути визначений за формулою

Підрахунок імовірності розорення часто спрощується, якщо використовувати похідні функції й/або перетворення Лапласа.

Як правило кількість застрахованих у страховій компанії дуже велика. Тому для підрахунку імовірності розорення потрібно здійснити розрахунок функції розподілу суми великої кількості доданків. У цьому випадку точний безпосередній чисельний розрахунок може привести до проблем, пов'язаних з малою величиною ймовірностей. Однак обставина, що утрудняє точний розрахунок, відкриває можливість швидкого й простого наближеного розрахунку. Це пов'язано з тим, що при збільшенні N імовірність  часто має визначену границю (переважно потрібно, щоб х певним чином змінювалося разом з N), яку можна прийняти як наближене значення цієї ймовірності. Точність подібних наближень звичайно дуже велика й задовольняє практичні потреби. Основним є нормальне (гауссівське) наближення.