Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

) Брутто-ставки.

Одержуючи внески в розмірі нетто-ставок, страховик акумулює у своїх руках стільки коштів, скільки йому знадобиться для виплати страхових сум. Але він несе витрати, пов'язані з витратами на проведення страхування, тобто повинен оплатити працю всіх працівників по укладанню договорів страхування та інші витрати.

Оскільки страхування проводиться, в основному, за рахунок самих страхувальників, кошти на покриття цих витрат також передбачаються у тарифній ставці. Тому до нетто-ставки приєднується навантаження.

У тарифних ставках по змішаному страхуванню життя у навантаження включені лише чисті витрати страхових компаній по проведенню страхових операцій. Річна брутто-ставка по змішаному страхуванню життя на 100 грн для особи у віці 40 років і терміном на 5 років складає 21 грн 11 коп.

Брутто-ставки обчислюються за формулою

де  - брутто-ставка;

 - нетто-ставка;

 - питома вага навантаження у брутто-ставці.

Тут нетто-ставка позначається символом , тому що за цією формулою обчислюються одноразові і річні ставки. У процесі розрахунків замість  підставляється відповідна нетто-ставка, наприклад, ,  тощо. Якщо йдеться про одноразові внески, вживаються символи  і , якщо про річні -  і

Правилами змішаного страхування життя надається можливість щомісячної чи одноразової сплати внесків. Щомісячні внески за своїм розміром дорівнюють 1/12 частині річних брутто-ставок.

Аналізуючи брутто-ставки, можна зробити такі висновки: розмір тарифів збільшується слідом за віком особи, що укладає договір страхування; чим довший термін страхування, тим нижча тарифна ставка; одноразовий внесок менший страхової суми і нижчий суми місячних внесків; перевищення загальної суми сплачених у розстрочку внесків буде тим меншим або його зовсім не буде, чим довший термін страхування і молодша особа, що укладає договір.

.6.2 Приклад короткострокової моделі страхування життя

Припустимо, що страхова компанія уклала N = 10000 договорів страхування життя терміном на один рік на наступних умовах: у випадку смерті застрахованого протягом року від нещасного випадку компанія виплачує укладачу договору 400 000 грн., а у випадку смерті від природних причин - 100 000 грн. Компанія не платить нічого, якщо застрахований не помре протягом року. Імовірність смерті від нещасного випадку одна й та сама для всіх застрахованих і дорівнює 0,0005. Імовірність смерті від природних причин залежить від віку. Застрахованих можна розбити на дві вікові групи, що містять  = 4000 і  = 6000 людей, з імовірністю смерті протягом року  = 0,0040 і  = 0,0020 відповідно.

Потрібно підрахувати премію, достатню для виконання компанією своїх зобов'язань із імовірністю 95% без залучення додаткових засобів. Захисна надбавка для індивідуального договору береться пропорційною

1) нетто-премії

2) дисперсії виплат за договором;

3) середньому квадратичному відхиленню виплат за договором.

Для розв’язання задачі приймемо суму 100 000 грн за одиницю виміру грошових сум.

Тоді для першої групи договорів індивідуальний збиток приймає три значення: 0, 1 й 4 з імовірностями 0,9955, 0,0040 й 0,0005 відповідно. Середнє значення й дисперсія величини індивідуального збитку рівні

 = 1 · 0,0040 + 4 · 0,0005 = 0,0060,

 =  · 0,0040 +  · 0,0005 -  0,0120.

Для другої групи договорів індивідуальний збиток приймає ті ж три значення 0, 1 й 4, але з іншими ймовірностями: 0,9975, 0,0020 й 0,0005. У цій групі середнє значення й дисперсія індивідуального збитку є

Таким чином, для договорів першої групи нетто-премія рівна  а для договорів другої групи нетто-премія рівна

Займемося тепер ризиковими надбавками.

Середнє значення й дисперсія сумарних виплат по всьому портфелю рівні:

Припустимо, що сумарна премія дорівнює u. Використовуючи гауссівське наближення для центрованої й нормованої величини сумарних виплат, ми можемо представити ймовірність нерозорення компанії в наступному виді:

Якщо ми хочемо, щоб імовірність банкрутства була 5 %, величина  повинна бути рівною  тобто сумарна премія повинна бути рівною  Перший доданок,  є сумарною нетто-премією (як ми бачили, вона дорівнює 48), а другий дає загальну ризикову надбавку l:

Щодо індивідуальних ризикових надбавок  для договорів з першої й другої груп відповідно ми знаємо поки лише те, що

1.      Якщо індивідуальні захисні надбавки пропорційні до нетто-премій:

то відносна страхова надбавка  одна і та сама для всіх договорів і дорівнює

Тому для договорів з першої групи премія рівна

 грн.

Для договорів із другої групи премія рівна

 грн.

2.      Якщо додаткова сума l ділиться пропорційно до дисперсій, то коефіцієнт пропорційності k дорівнює

Тому для договорів з першої групи страхова надбавка дорівнює

так що премія рівна

 грн,

а відносна ризикова надбавка

Для договорів із другої групи ризикова надбавка дорівнює

так що премія рівна

 грн,

а відносна ризикова надбавка

.        Якщо додаткова сума ділиться пропорційна середнім квадратичним відхиленням (вони рівні  для договорів першої групи і  для договорів другої групи), то коефіцієнт пропорційності k дорівнює

Тому для договорів із першої групи ризикова надбавка рівна

так що премія рівна

 грн.,

а відносна ризикова надбавка

Для договорів із другої групи ризикова надбавка дорівнює

так що премія рівна

грн,

а відносна ризикова надбавка

Зауваження. Зміна принципу призначення індивідуальних премій приводить до зменшення відносної ризикової надбавки для договорів першої групи:

Відповідно для договорів другої групи відносна ризикова надбавка збільшується:

Це пов'язане з тим, що коефіцієнт розсіювання сумарного збитку рівний

у той час як для договорів першої (другої) групи він дорівнює  - (відповідно, ). Коефіцієнт варіації величини індивідуального збитку для договорів першої групи рівний

а для договорів другої групи він дорівнює

Середній коефіцієнт варіації, усереднений по всьому портфелю з вагами   рівний

Таким чином, хоч дисперсія величини індивідуального збитку для договорів другої групи менша, ніж для договорів першої групи, флуктуації індивідуальних збитків для договорів другої групи (виміряні як коефіцієнтом розсіювання, так і коефіцієнтом варіації) перевищують середні флуктуації по всьому портфелю. Тому було б виправданим прийняти один із принципів 2 або 3 за основу для призначення індивідуальних премій.

Маючи на увазі тільки небанкрутство компанії, зовсім неважливо, як загальна ризикова надбавка розподіляється по індивідуальних договорах (рівною мірою не грає ролі розподіл сумарної нетто-премії на індивідуальні нетто-премії). Однак маючи на увазі маркетингові міркування, важливо зробити це «справедливим» чином. Насамперед, зрозуміло, що в силу статистичної однорідності договорів у межах однієї групи (із двох розглянутих), захисна надбавка повинна бути однією й тією ж для договорів з однієї групи. Однак одного рівняння  недостатньо для однозначного визначення індивідуальних надбавок  Необхідно прийняти деяке принципове рішення про “справедливе” співвідношенні між ними.

.6.3 Приклад обчислення нетто-премії при довгостроковому страхуванні життя

Страхова компанія уклала N = 10000 договорів довічного страхування зі страховою сумою  грн кожний. Припустимо, що залишковий час життя кожного із застрахованих характеризується інтенсивністю смертності , що не змінюється із часом, а інтенсивність відсотків

Підрахуємо величину премії, що гарантувала б 95% імовірність виконання компанією своїх зобов'язань без залучення додаткових коштів.

Приймемо страхову суму за одиниця виміру грошових сум.

Підрахуємо спочатку нетто-премію:

де  - щільність залишкового часу життя. Оскільки інтенсивність смертності відома, ми можемо знайти функцію виживання:

,

що, у свою чергу, дає наступну формулу для

Тепер ми можемо підрахувати нетто-премію:

Другий момент сучасної величини виплат за індивідуальним договором може бути отриманий із цієї формули заміною  на 2:

Отже,

Тепер можна підрахувати відносну ризикову надбавку:

Відповідно, премія рівна

Нагадаємо, що величина страхової суми b використовується нами як одиниця виміру грошових сум, так що в абсолютних цифрах р = 2274880 грн.

.6.4 Приклад обчислення величини періодичних премій

Розглянемо N = 2500 договорів 3-х річного змішаного дискретного страхування життя зі страховим відшкодуванням b = 1000 грн. Премії вносяться в кожну річницю укладання договору протягом усього терміну його дії, вік всіх застрахованих - 30 років. Компанія використовує наступну таблицю смертності:

= 96307,  = 96117,  = 95918,

і технічну процентну ставку i = 25%.

Визначимо величину періодичної премії Р, що гарантувала б відсутність втрат по всьому портфелю з імовірністю  = 99%.

Зобов'язання застрахованого полягає у виплаті 3-х річної тимчасової довічної ренти. Приведена вартість цього зобов'язання в момент укладання договору рівна  з середнім значенням . Величина  може бути легко підрахована:

Відзначимо, крім того, що для подвоєної інтенсивності відсотків

Зобов'язання страхової компанії полягають у виплаті страхової суми b = 1000 грн. наприкінці року смерті, якщо вона наступить не пізніше, ніж через 3 роки після укладання договору, або в момент закінчення терміну дії договору, якщо застрахований проживе ці 3 роки. Приведена вартість цього зобов'язання в момент укладання договору рівна  з середнім значенням . Як відомо,