Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Актуарна сучасна вартість ренти - це просто математичне очікування (випадкової) сучасної вартості. Вона позначається символом а з відповідними індексами. Тому метод сумарного платежу негайно дає наступні формули для актуарних сучасних вартостей базових рент:

для довічної ренти

для тимчасової довічної ренти

                                                                                     (3.1.5)

для відкладеної довічної ренти

                                                       (3.1.6)

Метод поточного платежу

На відміну від методу сумарної виплати, що розглядає довічну ренту як суму випадкової кількості детермінованих доданків, метод поточної виплати (current payment technique) розглядає довічну ренту як суму детермінованої (можливо, нескінченної) кількості випадкових доданків.

Наприклад, для довічної ренти це означає наступне. У принципі виплати можливі в будь-який момент часу  Виплата в момент k здійснюється, якщо людина ще жива, тобто якщо  Тому величина виплати в момент k - це індикатор події  Відповідно, приведена цінність цієї виплати в момент  - це випадкова величина  і, отже,

                                                                  (3.1.7)

Тому для середнього значення маємо:

                                          (3.1.8)

Для тимчасової довічної ренти відповідна формула виглядає в такий спосіб:

і, виходить,

                                    (3.1.9)

Для відкладеної на m років довічної ренти відповідна формула має вигляд:

і, отже,

                                    (3.1.10)

3.3.3. Актуарне нагромадження

Розглянемо пенсійний фонд, у який N людей у віці х років кожна внесли по одиничній сумі в момент  До моменту t ця сума збільшиться до  Одночасно скоротиться й кількість учасників фонду - у живих залишиться в середньому  людей. Якщо на кошти фонду можуть претендувати тільки живі учасники фонду, то на кожного з них буде припадати сума

Це актуарне нагромадження є більшим, ніж звичайне нагромадження у теорії складних відсотків, тому що пенсійний рахунок учасника збільшується не тільки за рахунок доходів від відсотків, але й за рахунок коштів померлих учасників фонду.

Актуарний коефіцієнт дисконтувания  - це середня сума, яку потрібно мати в момент  людині у віці x, щоб у момент t одержати, якщо вона ще жива, одиничну суму:

                                            (3.1.11)

Використовуючи поняття актуарного дисконтування, можна записати нові версії формул для введених вище актуарних вартостей рент:

                             (3.1.12)

3.4 Періодичні премії

.4.1 Періодичні нетто-премії

Дотепер ми припускали, що придбання страховки або довічної пенсії здійснюється у вигляді одиночної премії в момент укладання договору. Однак звичайно премія виплачується у вигляді серії платежів протягом деякого зазначеному у договорі терміну.

Як і у найпростіших випадках, що обговорювалися раніше, повна періодична премія складається з декількох частин. Найважливіша складова частина премії - це нетто-премія, що визначається із принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії (пенсійного фонду) і страхувальника (учасника фонду).

Якщо символ А (або а, у випадку довічних рент), можливо з деякими індексами, використовується для позначення разової нетто-премії, то символ Р(А) використовується для позначення періодичної нетто-премії, яка вноситься на протязі всього часу дії договору. Крім того, буква Р може мати свої індекси, які характеризують процес надходження премій. Наприклад, якщо премії вносяться із частотою m, то вгорі праворуч ставиться індекс (m); якщо премії платяться неперервно, то над буквою Р ставиться риска й т.д. Якщо, крім того, період платежів обмежений строком t, то відповідна періодична премія позначається  Для дискретних видів страхування часто букву А опускають і використають тільки символ Р, але з усіма індексами, які були у символа А.

В загальному виді схема розрахунку нетто-премій може бути представлена в такий спосіб.

Нехай  - шукана нетто-премія.

Визначимо сучасну актуарну вартість фінансових зобов’язань страхувальника  Ця величина, очевидно, є функцією від шуканої премії

Потім підрахуємо сучасну актуарну вартість фінансових зобов'язань компанії

Величина  , загалом кажучи, також залежить від шуканої премії

Принцип еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії (пенсійного фонду) і страхувальника (учасника фонду) означає, що

Корінь цього рівняння і є шуканою нетто-премією.

Для регулярних видів страховок і довічних пенсій величина періодичних премій визначається в термінах відповідних довічних рент.

.4.2 Премії, що враховують витрати

Заключення і підтримка договорів страхування й договорів пенсійного забезпечення пов'язані з певними витратами: комісійні агентам, за підготовку документації, сплата податків, аналіз страхових випадків перед виплатою страхових відшкодувань, оплата судових витрат у спірних випадках і т.д. Деякі із цих витрат фіксовані (наприклад, оформлення документації), деякі становлять певний відсоток від величини премії (наприклад, комісійні агентам або податки), деякі становлять певний відсоток від величини страхового відшкодування (наприклад, судові витрати в спірних випадках). Крім того, частина витрат пов'язана тільки з моментом укладання договору, а частина з'являється періодично при одержанні чергових премій. Деякі витрати виникають тільки при настанні страхових випадків.

Всі ці витрати оплачуються страхувальниками за рахунок певного збільшення нетто-премій. Дуже важливо, щоб це збільшення не було довільним, а розраховувалося належним чином. Занадто велике збільшення премій зачіпає інтереси страхувальників і неприйнятно з погляду суспільства; занадто малі надбавки до премії можуть викликати фінансові проблеми в компанії (що також не в інтересах її клієнтів).

Витрати на ведення справи можна розглядати як специфічну форму фінансових зобов'язань компанії. Тому премії, що враховують витрати, визначаються із принципу еквівалентності фінансових зобов'язань страхової компанії або пенсійного фонду й застрахованого (учасника фонду).

Самі значні витрати виникають при укладанні договору; часто вони перевищують першу премію, виплачену страхувальником. Різницю компанія покриває із власних коштів (або за допомогою перестрахування), а потім поступово відшкодовує свої витрати за рахунок збільшених премій. Якщо ж страхувальник вирішить розірвати (lapse) договір протягом декількох перших років дії договору, то компанія зазнає збитків (хоча частково вони можуть бути зменшені, якщо зажадати від агентів повернути комісійні, або зменшити викупну суму, виплачувану страхувальникові).

.4.3 Розрахунок захисної надбавки

Для захисту від випадкових флуктуації тривалості життя нетто-премія  повинна бути певним чином «навантажена», тобто повна премія

де  - захисна (ризикова) надбавка, а  - відносна ризикова надбавка [3].

Найпростіший метод розрахунку страхової надбавки до нетто-премії у випадку періодичних виплат премій полягає у наступному. Приймемо до розгляду сучасну величину збитку , пов'язану з одним договором. Цей збиток визначається як різниця між сучасною величиною  у страхового відшкодування або пенсії й сучасною величиною  потоку премій. У загальному випадку як , так і  залежать від навантаженої премії

Відповідно, збиток  також залежить від р:

Для кожного конкретного договору збиток L може бути як позитивний, так і негативний. Нам звичайно хотілося б, щоб весь портфель договорів, розглянутий як єдине ціле, не приносив би збитків (однак, в окремі моменти часу можливий негативний баланс). Іншими словами, ми б хотіли, щоб з великою ймовірністю  сумарний збиток

де N - кількість договорів, а  збиток від i-го договору, був би недодатнім:

Переписуючи цю умову у вигляді (ми вважаємо ризики, пов'язані з різними договорами незалежними)

і застосовуючи гауссівське наближення, ми одержимо:

                                                            (3.1.13)

Для основних принципів призначення страхових надбавок можливе введення єдиного параметра k. Тому насправді це рівняння є рівнянням щодо однієї невідомої величини k і може бути легко розв’язане.

3.5 Резерви

.5.1 Поняття резерву

Розглянемо деякий договір страхування й приймемо момент його підписання за початковий момент часу. Припустимо, що через час t договір усе ще зберігає чинність (так що застрахований ще живий) і позначимо актуарну приведену вартість зобов'язань компанії (застрахованого) у цей момент через  (відповідно, ). Величина  визначає середню суму, що має бути виплачена у майбутньому страховій компанії за розглянутим договором. Тільки частина коштів (у середньому ) надійде від застрахованого. Відсутню суму (у середньому -) компанія повинна покрити з інших джерел. Однак, оскільки необхідність цієї додаткової суми зрозуміла уже в момент t, компанія повинна передбачити резерв (reserve)  величиною - в цей момент:

Підкреслимо, що резерв, що визначається цією формулою, не враховує випадкові флуктуації виплат і надходжень, пов'язаних з випадковістю часу життя.

Визначення резерву, подане вище, пов'язане з аналізом майбутнього (перспективного) розвитку подій. Тому метод розрахунку резерву безпосередньо за визначенням називають перспективним методом (prospective method).

Для конкретного договору страхування з разовою нетто-премією, що позначена буквою А (або, у випадку довічних рент, буквою а) з відповідними індексами, резерв через час t після укладання договору позначається . Крім того, буква V може мати свої індекси, які характеризують процес надходження премій. Ці індекси аналогічні індексам, які використовуються для позначення періодичних нетто-премій. Наприклад, якщо премії вносяться із частотою т, то вгорі праворуч ставиться індекс (т); якщо премії виплачуються неперервно, то над буквою V ставиться риска й т.д. Якщо період виплат премій обмежений деяким числом h, то його ставлять ліворуч угорі (а не ліворуч унизу як при позначенні нетто-премій, тому що це місце вже зайняте для вказівки моменту t). Для дискретних видів страхування букву А часто опускають і використають тільки символ V, але з усіма індексами, які були у символа А.

Особливо звернемо увагу на наступну обставину. Звичайно термін «резерв» вживається для позначення якихось запасів. Наприклад, теплова електростанція створює резервний запас вугілля для того, щоб забезпечити безперебійне функціонування агрегатів у випадку збоїв у регулярних поставках палива із шахт. Страховик (як і будь-яка інша компанія або фізична особа) може мати певний резерв фінансових коштів для того, щоб без затримок фінансувати які-небудь непередбачені витрати. Однак ми вживаємо термін «резерв» зовсім в іншому значенні. Резерв у страхуванні -це виміряна в грошових одиницях вартість майбутніх зобов'язань компанії. Оскільки величина цих зобов'язань залежить від випадкових факторів, які відносяться до далекого майбутнього, строго кажучи, виміряти їх у сьогоденні взагалі неможливо. Тому резерв - це деяка розумна й, як правило, консервативна оцінка балансу майбутніх витрат і доходів. Відповідно, немає й не може бути однозначного визначення резерву. Визначення, наведене вище, є одним з найпростіших і найпоширеніших.

Маючи на увазі ці обставини, було б розумно використати при оцінці резерву завищену смертність (у страхуванні, і занижену смертність - при оцінці рент і пенсій), занижену процентну ставку й т.д. Інакше кажучи, оцінюючи майбутній розвиток подій, потрібно бути трохи песимістом (рівень цього песимізму звичайно приписується страховим компаніям регулювальними органами).

Якщо при оцінці резерву використовується нетто-премія й ті ж таблиця смертності й технічна процентна ставка, що й при розрахунку нетто-премій, то резерв називають нетто-резервом або резервом нетто-премій (net premium reserve). Якщо ж премія, яка використовується при розрахунку резерву, враховує витрати, і/або при розрахунку резерву використовується особлива таблиця смертності (valuation table) і/або змінена технічна процентна ставка, то резерв називається спеціальним або модифікованим.