Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

3.5.2 Додаткові методи розрахунку резервів

Рекурентна формула для резервів

Розглянемо наступну загальну схему страхування:

договір страхування укладений у момент  на термін п років;

1) вік застрахованого в момент укладання договору - х років;

премія вноситься в кожну річницю укладання договору й на k-й рік, дорівнює

зобов'язання страховика на k-й рік дії договору полягають у виплаті наприкінці року страхової суми  якщо застрахований помер протягом цього року, і суми  якщо застрахований дожив до кінця цього року.

Припустимо, що наприкінці k-го року (тобто в момент ) договір усе ще зберігає чинність (так що застрахований ще живий і його вік рівний ). Цей договір

• негайно принесе у вигляді премії суму  (індекс  вказує, що почався -й рік дії договору)

і, крім того,

• з імовірністю  приведе до виплати страхової суми  у момент  (її приведена вартість у момент k дорівнює ),

• а з імовірністю  буде діяти й у момент , що буде вимагати

виплати суми  (її приведена вартість у момент k дорівнює );

і (у середньому) наявності суми  для виконання страховиком своїх зобов'язань після моменту  (її приведена вартість у момент k дорівнює ).

Тому середня сума, необхідна страховикові в момент k для виконання своїх зобов'язань за договором (тобто нетто-резерв ) дорівнює

                                (3.1.14)

Це і є рекурентна формула для резервів наприкінці послідовних років дії договору.

Ретроспективна формула для нетто-резерву

Якщо премія з деякого виду страхування або пенсійної схеми визначена із принципу еквівалентності, то в середньому компанія не повинна залучати власні кошти для виконання фінансових зобов'язань перед клієнтами. Це означає, що резерв у момент t, необхідний для виконання майбутніх фінансових зобов'язань по кожному ще діючому договору, повинен бути рівним сумі, яка накопичена до моменту t на кожен діючий договір.

Тому ми можемо оцінювати резерви, виходячи з минулого (ретроспективного) розвитку подій:

де  - актуарне накопичення до моменту k за рахунок премій, а  - актуарна накопичена вартість у момент k всіх виплат на проміжку (0, k).

Цей метод розрахунку резервів називається ретроспективним (retrospective).

Ретроспективна формула зручна при розрахунку резервів для відтермінованих видів страхування й рент до настання періоду страхових виплат. У цьому випадку резерв - це просто актуарна накопичена вартість всіх внесених премій.

3.6 Приклади знаходження тарифних ставок для різних видів страхування життя

.6.1 Побудова тарифних ставок по змішаному страхуванню життя

Уклавши договір страхування життя, страхувальник і страховик починають виконувати свої фінансові зобов'язання.

Фінансові зобов'язання полягають у сплаті страхових внесків. Якщо страхувальник сплачує їх одразу при укладанні договору, то такий внесок називається одноразовим. Якщо ж він виконує свої зобов'язання протягом усього терміну страхування, застосовуються річні внески, які потім можуть сплачуватися у розстрочку - щомісяця.

Для виплат за кожним видом страхової відповідальності страховик повинен створити у себе страховий фонд. Крім того, йому необхідні кошти для компенсації витрат на проведення страхових операцій. Тому тарифна ставка по змішаному страхуванню життя складається з:

-        нетто-ставки на дожиття;

-        нетто-ставки на випадок смерті;

         нетто-ставки на випадок утрати працездатності;

         навантаження.

Розглянемо послідовно процес побудови тарифних ставок.

) Одноразова нетто-ставка на дожиття.

Припустимо, що особа у віці 40 років (x=40) укладає договір страхування на дожиття терміном на 5 років на суму 100грн. Яка повинна бути для нього величина одноразового страхового внеску?

Уявимо, що такі договори страхування уклали всі сорокарічні особи з наведеної у додатку 1 таблиці смертності. Після закінчення п'яти років страховій компанії необхідно буде виплатити певну кількість страхових сум тим, хто доживе до закінчення терміну дії договору. З таблиці смертності знаходимо, що до 45 років доживе 91631 чол. Виходить, і виплат буде 91631. Страхова сума кожного договору - 100грн. Отже, страховий фонд, призначений для цих виплат, повинен становити

грн∙91631=9163100грн.

Однак на початку страхування він може мати меншу величину, враховуючи, що щороку на ній буде наростати 3 складних відсотки доходу. Щоб відповідно зменшити цей фонд, тобто знайти його сучасну вартість, застосуємо дисконтуючий множник за 5 років, рівний при 3%-й нормі прибутковості 0,86261.

грн∙0,86261=7904182грн.

Отже, щоб через 5 років мати кошти для виплати страхових сум по дожиттю, страхова компанія на початку страхування повинна мати у своєму розпорядженні фонд у 7904182грн. Цю суму і потрібно одноразово зібрати зі страхувальників. Різниця між сумою збору і сумою виплат буде покрита за рахунок 3%-го доходу на зібрані кошти. 7904182грн є сучасною вартістю 9163100грн, що будуть виплачені через 5 років.

Щоб визначити розмір внеску кожного із застрахованих у цей загальний фонд, розділимо отриману суму на кількість осіб на початку страхування (див. Додаток 1, x=40). Одержимо:

грн / 93597=84грн 45коп.

Це і буде одноразова нетто-ставка на дожиття.

Розмір тарифної ставки був, відповідно, обчислений таким чином:

∙0,86261 / 93597∙100=84,45.

91631 - це кількість осіб, що доживають до 45 років. Воно позначається символом , де x - вік на початку страхування, n - термін страхування.

,86261 - дисконтуючий множник ;

- кількість осіб на початку страхування ;

- страхова сума S.

Звідси отримаємо формулу

де  - одноразова нетто-ставка по страхуванню на дожиття для осіб у віці x років терміном на n років.

Підставляючи в цю формулу відповідні значення, можна обчислити розмір тарифної ставки на дожиття для будь-якого віку і терміну.

) Одноразова нетто-ставка на випадок смерті.

Припустимо, що особа у віці 40 років укладає договір страхування на випадок смерті терміном на 5 років на 100грн. Якщо, обчислюючи нетто-ставку на дожиття, необхідно було знайти кількість осіб, що доживають до 45 років, то тепер варто визначити кількість застрахованих, які не доживуть до 45 років.

По таблиці смертності (див. Додаток 1) знаходимо, що у віці 40 років звичайно помирає 335 чол., у віці 41 року - 360, 42 років - 390, 43 років -422, 44 років - 459 чол. Отже, страховій компанії необхідно виплатити у зв'язку з випадками смерті на першому році страхування 33500грн, на другому 36000грн тощо. Перемноживши ці суми на відповідні (для одного року, для двох років і т. ін.) дисконтуючі множники, знайдемо сумарну вартість майбутніх п'ятирічних виплат у випадку смерті:

∙0,97087+36000∙0,94260+39000∙0,91514+42200∙0,88849++45900∙0,86261=179237грн.

Розділимо отриману суму на кількість осіб, що вступають у страхування:

/93597=1грн 91коп.

Таким чином, особи у віці 40 років, уклавши договір страхування на випадок смерті на страхову суму 100грн, повинні при укладанні договору внести у загальний страховий фонд 1грн 91 коп.

Розмір тарифної ставки був обчислений за допомогою таких дій:

(335∙0/97087+360∙0,94260++459∙0,86261)/93597∙100=1,91,

де

- кількість осіб, що помирають у віці 40 років, або

- кількість осіб, що помирають у віці 41 року, або  і т.д.;

- кількість осіб, що помирають на останньому році страхування, або

,97087; 0,94260,  і т.д. - множники, що дисконтують, для відповідних років страхування:

- кількість осіб при вступі у страхування

- страхова сума, або S.

Одноразова нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті для осіб у віці x років при терміні страхування n років позначається символом

Користуючись цією формулою, можна обчислити розмір тарифної ставки по страхуванню на випадок смерті для осіб будь-якого віку на будь-який термін.

3) Річна нетто-ставка.

Більшості страхувальників зручніше робити внески протягом усього періоду страхування. Для цього обчислюються річні нетто-ставки.

Визначаючи розмір річної нетто-ставки, не можна механічно ділити одноразову ставку на число років страхування. Необхідний особливий розрахунок, що враховує як втрату доходу на відсотках, так і зменшення числа застрахованих внаслідок смертності.

Для обчислення річних ставок застосовуються спеціальні коефіцієнти розстрочки (ануїтети).

Розглянемо конкретний приклад. Уявімо: всі 93597 осіб 40-річного віку, що значаться в таблиці смертності, зобов'язалися протягом п'яти років наприкінці кожного року вносити страховій компанії по 1 грн. Але оскільки протягом п'яти років частина застрахованих може померти, страхова компанія одержить відповідно до таблиці смертності: наприкінці

-го року - 93262 грн;

-го року - 92902 грн;

-го року - 92512 грн;

-го року - 92090 грн;

-го року - 91631грн.

Сучасна вартість суми, внесеної в першому році, дорівнює 93262 ∙ 0,97087 (0,97087 - дисконтуючий множник за один рік). Сучасна вартість внесків другого року дорівнює 92902 ∙ 0,94260 (0,94260 - дисконтуючий множник за 2 роки) і т.д. Перемноживши суми внесків кожного року на відповідні дисконтуючи множники, знайдемо сучасну вартість загальної суми внесків усіх застрахованих. Розділивши отриману величину на 93597 (кількість осіб, що вступили в страхування), розраховуємо сучасну вартість річних внесків у розмірі 1грн, сплачених протягом п'яти років кожним із 40-річних застрахованих. У результаті підрахунку отримаємо 4грн 53 коп. Це значить, що протягом п'яти років страхувальник буде вносити страховій компанії по 1грн і усього він внесе 5 грн. Сучасна вартість цих 5грн у момент укладання договору страхування дорівнює 4грн 53 коп.

Сучасна вартість річних внесків у розмірі 1грн називається коефіцієнтам розстрочки (ануїтетом) і позначається символом .

Якщо в наведеному розрахунку замінити цифрові значення літерними позначеннями, отримаємо формулу:

У ній враховується і норма прибутковості, і природне зменшення внаслідок смертності числа застрахованих осіб протягом терміну страхування.

Деякі значення ануїтетів наведені у таблиці 3.

Таблиця 3. Деякі значення ануїтетів

Як відомо, одноразова нетто-ставка дорівнює сучасній вартості взаємних фінансових зобов'язань страховика і страхувальника. Якщо страхувальник погашає свої фінансові зобов'язання річними внесками, одноразова ставка дорівнює сучасній вартості суми річних внесків.

Коефіцієнт розстрочки дорівнює сучасній вартості річних внесків у розмірі 1грн. Отже, одноразова ставка так відноситься до річної, як коефіцієнт розстрочки до 1грн. Складемо пропорцію

Одноразова ставка: пах = річна ставка / .

Звідси річна ставка дорівнює одноразовій, помноженій на 1грн і поділеній на коефіцієнт розстрочки, або = одноразова ставка /.

Абсолютні значення коефіцієнтів розстрочки близькі до значення п - терміну страхування, але трохи нижчі за нього (див. табл. 3). У результаті розміри річних ставок виходять більш високими, ніж при механічному діленні одноразової ставки на число років страхування. Так відшкодовуються втрати на відсотках і враховується зменшення протягом терміну страхування кількості осіб, що роблять внески.

Застосувавши коефіцієнт розстрочки у розмірі 4,53; обчислимо річні ставки для особи у віці 40 років при терміні страхування 5 років.

Річна нетто-ставка по дожиттю дорівнює 18грн 64коп (84грн 45 коп. / 4,53); річна нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті складе 42 коп. (1грн 91 коп./4,53), а по змішаному страхуванню (без відповідальності за втрату працездатності) - 19грн 06коп.

Таким чином, договір змішаного страхування життя терміном на 5 років для сорокарічної особи характеризується такими даними: 100 грн - страхова сума; 95грн 30 коп. - сума річних внесків - нетто; 86грн 36 коп - одноразовий внесок - нетто.

) Нетто-ставки на випадок утрати працездатності.

Нетто-ставку по страхуванню на випадок утрати працездатності прийнято включати в усі річні тарифні ставки в єдиному розмірі, незалежно від віку застрахованого. ЇЇ розмір установлюється на основі практичних даних страхових компаній про виплати страхових сум у зв'язку з утратою застрахованими працездатності від нещасного випадку.

Остаточний розмір річної нетто-ставки по змішаному страхуванню життя із 100грн страхової суми, що передбачає відповідальність страхових компаній по дожиттю, на випадок смерті і втрати працездатності для особи у віці 40 років при терміні страхування 5 років складе 19грн 38коп, у тому числі:

грн 64 коп - нетто-ставка по страхуванню на дожиття;

коп - нетто-ставка по страхуванню на випадок смерті;

коп - нетто-ставка по страхуванню на випадок утрати працездатності.

Переважну питому вагу займає нетто-ставка на дожиття.

Величина нетто-ставки залежить, таким чином, від рівня смертності застрахованих, ймовірності втрати працездатності від нещасного випадку і норми прибутковості. Оскільки ця залежність носить об'єктивний характер, розміри нетто-ставок не можна довільно змінювати.