Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Додаткова ймовірність  (тобто ймовірність того, що людина у віці x років проживе як мінімум t років) в актуарій науці позначається символом

Випадок  відіграє особливу практичну роль і зустрічається найбільш часто. Для нього прийнято опускати передній індекс у змінних  і . Таким чином символ  позначає ймовірність того, що людина у віці x років помре на протязі найближчого року, а символ  позначає ймовірність того, що людина у віці x років проживе ще як мінімум один рік. З наведених вище загальних формул маємо:

За допомогою ймовірностей  можна підрахувати і більш загальні ймовірності

Розглянемо тепер більш загальну подію, яка полягає у тому, що людина віку x проживе ще t років, але помре на протязі u наступних років.

В термінах залишкового часу життя  цю подію можна виразити подвійною нерівністю:  Ця ймовірність позначається

Випадок  цікавий для застосування до страхування життя. Як і в попередньому випадку, відповідний індекс прийнято упускати. Отже,  - це ймовірність того, що людина у віці x років проживе ще t років, але помре на протязі наступного року. Наведені вище загальні формули дають:

Макрохарактеристики залишкового часу життя

Середнє значення залишкового часу життя людини у віці x років  позначається  і називається повною сподіваною тривалістю життя (the complete-expectation-of-life):

                                         (2.2.5)

Для другого моменту  вірна аналогічна формула:

                                                            (2.2.6)

Середній залишковий час життя можна виразити і через інші характеристики часу життя. З цією ціллю розглянемо групу з  новонароджених і позначимо через  сумарну кількість років, які були прожиті представниками цієї групи після віку x років. Таким чином, якщо час життя і-го представника групи менший від x, його вклад у суму  рівний 0. Якщо ж  то вклад у суму рівний

Тоді

Середнє значення величини де n - деяка додатна константа, називають частковою середньою тривалістю життя і позначають . Для неї вірна формула

2.2.3 Заокруглена тривалість життя

Зазвичай люди ведуть рахунок прожитих років цілими роками, а страхові компанії зазвичай заключають договори страхування життя на 1, 3, 5 і т.д. цілу кількість років. У зв’язку з цим природно розглянути поряд із звичайною тривалістю життя  її цілу частину  Таким чином, якщо наприклад, =18 років 9 місяців=18,75 років, то 18 років. Величина називається округленою залишковою тривалістю життя (curtate-future-lifetime). Слід відзначити, що заокруглення здійснюється не до найближчого цілого, а завжди з недостачею (тобто до найближчого цілого, яке менше, ніж дане дробове число). В цьому розумінні англійський термін curtate („урізана”) - точніший, ніж прийнятий термін „заокруглена”.

Розподіл заокругленого часу життя

Оскільки випадкова величина  приймає тільки цілі значення, її стохастична природа характеризується (як це прийнято в теорії ймовірностей) не функцією розподілу, а розподілом, тобто набором ймовірностей  . Оскільки подія  еквівалентна тому, що  є істинними рівності:

Середня заокруглена тривалість життя і її дисперсія

Математичне сподівання випадкової величини  називається середньою заокругленою тривалістю життя (curtate-expectation-of-life) і позначається

                                                         (2.2.7)

Подібним чином для другого моменту  який є необхідним для розрахунку  ми маємо:

                                                    (2.2.8)

Більш цікавою є рекурентна формула

звідки випливають наступні співвідношення, які пов’язують середню заокруглену тривалість життя і ймовірність смерті на протязі найближчого року

.2.4 Таблиці тривалості життя

Статистичні дані про тривалість життя, як ми уже зазначали, підсумовуються у таблицях тривалості життя (life tables) (див. Додаток 1); іноді їх називають таблицями смертності (mortality tables). Найпростішим видом таблиць є таблиці, які містять інформацію про статистичні властивості тривалості життя випадково вибраної людини, про якого відомим є тільки його вік. Такі таблиці називають загальними чи спрощеними [4] (aggregate tables). Вони дозволяють одержати загальну наближену картину смертності. Прикладом таких таблиць можуть служити популярні таблиці, які містять дані про смертність населення. В принципі для розв’язування будь-якої задачі достатнім є знання функції виживання  однак для наочності в таблиці як правило включають введені раніше величини:

)  - середня кількість живих представників деякої групи з  новонароджених у віці x років;

)  - кількість представників групи, які померли у віці від x до x+1 років;

)  - ймовірність смерті протягом року для людини у віці x років;

) - середній залишковий час життя.

У якості кроку таблиці як правило розглядають 1 рік, тобто табулюють значення функції від x для x =0, 1, 2, … років.

Таблиці відбору ризику

Очевидно, що статистичні властивості тривалості життя цілком різні у жителя високорозвиненої країни Заходу і жителя бідної африканської держави, тому абсолютно загальна таблиця взагалі не має реального інтересу.

Однак, зрозуміло, що і серед жителів однієї країни існують різноманітні групи людей з різними характеристиками тривалості життя. Перш за все, важливо відзначити, що смертність серед мужчин є у декілька разів вищою ніж смертність серед жінок. Ймовірно, смертність серед домогосподарок є меншою, ніж серед шахтарів; смертність серед людей, які пройшли медичну комісію перед укладанням договору страхування, є меншою, ніж у середньому по країні ; смертність серед людей, які вийшли на пенсію через хворобу, навпаки, є вищою (звичайно, у всіх випадках ми повинні порівнювати людей у одному віці x). Однак, страхова компанія має справу не з абстрактними людьми, а з цілком конкретними, відносно яких відома деяка інформація (стать, професія, перенесені хвороби і т.д.). Тому зрозуміло, що компанія повинна мати цілий спектр таблиць тривалості життя для різних груп населення. Такі таблиці називаються таблицями з відбором (select tables) чи таблицями відбору ризику. Як правило створюється декілька базових таблиць, а багаточисельні додаткові ризики враховуються за допомогою вказівок по андеррайтингу, які дають відповідні коефіцієнти (чи адитивні надбавки) до базових тарифів. Моральні небезпеки переважно враховують юридичними обмеженнями і зменшенням страхової суми.

У зв’язку з цим величини, включені у таблиці з відбором, мають два аргументи: один показує момент відбору x, а другий - час t, який пройшов з моменту відбору. Щоб вказати цю залежність, в актуарій математиці не пишуть  чи  (як ми це зробили б у загальному курсі математики), а застосовують наступне позначення:

При фіксованому віці  і моменті відбору  (чи, що те ж саме, проміжку часу t, який пройшов з моменту відбору) величина виду  нічим принципово не відрізняється від величини  (ми лише явно вказуємо деяку додаткову умову, при якій вона розглядається). Тому, для характеристик тривалості життя «відібраних» людей справедливі усі наведені вище результати, включаючи введені там позначення (так само, як для умовних ймовірностей в класичному курсі теорії ймовірностей справедливі всі теореми, доведені для звичайних ймовірностей). Наприклад,

)  позначає умовну ймовірність смерті на протязі року людини у віці x+t років, яка t років назад (тобто у віці x років) була відібрана у групу;

)  - це ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка була t років тому назад (тобто у віці x років) відібрана у групу, проживе ще як мінімум рік;

)  - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, помре на протязі найближчих n років;

)  - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, проживе ще як мінімум n років;

)  - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, проживе ще n років, але помре на протязі m наступних років;

)  - ймовірність того, що людина у віці x+t років, яка відібрана t років назад, проживе ще n років, але помре на протязі наступного року.

Всі ці ймовірності можуть бути виражені через ймовірності ; наприклад,

Таблиці з відбором обмеженої дії

Тонкий статистичний аналіз показує, що як правило вплив відбору продовжується необмежено довго. Однак, у більшості випадків, залежність характеристик смертності від часу, який пройшов з моменту відбору, швидко зменшується і через деякий час (з тим чи іншим ступенем точності) ці характеристики залежать тільки від досягнутого віку. Слід відзначити, що сам вплив відбору зберігається, у тому розумінні, що ці характеристики відрізняються від популяційних.

Проміжок часу r, після якого залежністю від моменту відбору можна знехтувати і розглядати всі характеристики тривалості життя тільки як функції досягнутого віку, називається (хоча цей термін не дуже правильно передає суть справи) періодом дії відбору (select period).

Відповідна таблиця називається таблицею з відбором обмеженої дії (select-and-ultimate table). Граничні значення  (які заміняють  при ) утворюють так звану граничну таблицю (ultimate table). По своїй структурі вона є таблицею найпростішого виду.

Розрахунок характеристик смертності серед представників виділеної групи може бути значно спрощений, якщо замість ймовірностей  ввести у розгляд спеціальні величини  які є аналогічними до величин  із загальних таблиць смертності.

Розглянемо деяку таблицю з відбором, який діє на протязі r років, і визначимо величини  за допомогою наступної формули:

Оскільки період дії відбору рівний r, ми покладаємо

 якщо

Тоді

і тому величини  можуть використовуватися у якості первинних характеристик смертності представників виділеної групи. Однак важливішим є те, що більш складні характеристики смертності, такі як   , можуть бути простіше виражені через величини  ніж через величини  Наприклад,

Для подальшого спрощення формул можна ввести величини

так що, наприклад,

Тому, часто у таблиці з відбором обмеженої дії включають тільки величини

.2.5 Наближення для дробового віку