Материал: Економіко-математичне моделювання діяльності страхових компаній

Як слідує з вищесказаного

Якщо плата за пенсії відбувається у вигляді декількох платежів величиною  зроблених у моменти  то справедливе співвідношення між внесками  і пенсійними виплатами  знаходиться із принципу еквівалентності зобов'язань:

Ліва частина цієї формули виражає сучасну цінність всіх внесків у пенсійний фонд або страхову компанію, а права - сучасну вартість всіх пенсійних виплат.

Описана вище загальна модель детермінованої пенсійної схеми на практиці як правило не застосовується. Реально використовуються схеми, що мають ту чи іншу форму регулярності як за величиною внесків і виплат, так і за моментами здійснення цих платежів. Особливо важливим є випадок серії платежів фіксованої величини, які здійснюються через рівні проміжки часу фіксовану кількість разів. Такі серії платежів звичайно називають постійними рентами (level annuity). Часто, якщо немає небезпеки плутанини з термінами, слово «постійні» опускають.

Детерміновані постійні ренти

Розглянемо п послідовних одиничних проміжків часу  Під моментом  ми звичайно будемо мати на увазі теперішній момент, а за одиничний проміжок часу приймемо один рік (цей вибір, звичайно, умовний, тому нижченаведені формули можна застосовувати й у випадку, якщо за одиничний проміжок часу обраний один тиждень, один місяць, один квартал і т.д.).

Серія з п виплат, кожна величиною 1, зроблених наприкінці цих проміжків, тобто в моменти 1, 2, ..., n, називається рентою із запізненням (annuity payable in advance чи annuity-due).

Серія з п виплат, кожна величиною 1, зроблених на початку цих проміжків, тобто в моменти 0, 1, 2, ..., п-1, називається рентою із випередженням (annuity payable in advance чи annuity-due).

Відмінність між рентою із запізненням і рентою із випередженням умовна й пов'язана з вибором початку відліку. Зрозуміло, що якщо за початковий момент вибрати момент  то рента із запізненням може розглядатися як рента із випередженням.

Приведена цінність ренти із випередженням у фінансовій математиці позначається . Це - цінність серії з п платежів величиною 1, здійснених через одиничні інтервали часу. Вартість цієї серії розраховується в момент здійснення першого платежу.

У випадку, коли цінність даної серії платежів розраховується не на момент першого платежу, а на одиницю часу раніше (умовний нуль), то приведена цінність називається приведеною цінністю із запізненням і позначається .

Щоб підрахувати ці величини, потрібно привести кожний з п платежів до початкового моменту часу , а потім додати отримані значення:

                                                       (2.1.6)

                                                   (2.1.7)

Величини  і  дозволяють підрахувати розмір суми, яку потрібно інвестувати в даний момент для того, щоб одержувати фіксований регулярний дохід у майбутньому. З їхньою допомогою також можна визначити величину регулярних виплат у випадку, коли борг повертається не одним платежем, а серією однакових платежів.

Розглянуті вище рентні платежі починалися на першому ж проміжку (0, 1) (на його початку, тобто в момент  для ренти з випередженням, і наприкінці, тобто в момент , для ренти із запізненням). Для застосування на практиці важливі також так звані відтерміновані ренти (defferred annuities). Щоб дати означення таких рент, розглянемо послідовні одиничні проміжки часу (0,1), (1, 2), … , (m-1, m), (m, m+1), … , (m+п-1, m+п). Як і раніше, під моментом  ми будемо мати на увазі дійсний момент часу.

Серія з п виплат, кожна величиною 1, зроблених наприкінці проміжків (m, m+1), …, (m+n-1, m+n), тобто в моменти m+1, ..., m+n, називається відтермінованою рентою із запізненням (deferred immediate annuity). Її цінність у даний момент  позначається  Щоб підрахувати цю величину, приведемо кожний з п платежів у моменти m+1, …, m+n до початкового моменту часу, після чого додамо одержані значення:

Серія із n виплат, кожна величиною 1, зроблених на початку проміжків (m, m+1), …, (m+n-1, т+п), тобто в моменти m, … m+n-1, називається відтермінованою рентою із випередженням (deferred annuity-due). Її вартість у теперішній момент  позначається . Щоб підрахувати цю величину, приведемо кожний з п платежів у моменти m,. . . , m+n-1 до теперішнього моменту часу, а потім додамо отримані значення:

Часто корисно знати цінність ренти не в початковий момент часу, а наприкінці останнього платіжного періоду. Цю цінність можна інтерпретувати як загальну суму, накопичену на банківському рахунку після серії регулярних внесків. Її позначають так само, як і відповідну приведену цінність у початковий момент, але із заміною букви а на букву s.

Отже,  - це приведена вартість ренти із запізненням в момент  останнього платежу, а  - це приведена цінність ренти з випередженням, у момент , тобто через одиницю часу після останнього платежу.

Формули для нагромаджень   можна одержати безпосередньо, привівши кожний з п платежів до моменту  і потім додавши отримані значення:

                                                           (2.1.8)

                                                        (2.1.9)

Детерміновані постійні ренти, виплачувані із частотою р

Розглянемо п послідовних одиничних проміжків часу (0,1), (1, 2), … , (п-1, п). Під моментом  ми, як правило, будемо мати на увазі дійсний момент, а як одиничний проміжок часу будемо розглядати один рік.

Розіб’ємо кожний з п одиничних проміжків на р рівних частин довжиною 1/р кожна. Якщо, як ми відзначали, за одиниця часу прийнято один рік, то найцікавішими є випадки:

1) р = 12 (проміжок часу 1/р відповідає одному місяцю),

2) р = 4 (проміжок часу 1/р відповідає одному кварталу),

3) р = 2 (проміжок часу 1/р відповідає одному півріччю).

Серія з np виплат, кожна величиною 1/р, зроблених наприкінці цих підпроміжків, тобто в моменти

1/р, ..., р/р = 1; … ; п-1+1/р, …, п-1+р/р=п,

називається рентою із запізненням, виплачуваною із частотою р (annuity payable p thly in arrear чи immediate annuity payable p thly). Її цінність у даний момент  позначається  а цінність у момент  останнього платіжного періоду називається нагромадженням і позначається

Зазначимо, що кожна виплата має величину 1/р, так що як одиниця виміру грошових сум розглядається алгебраїчна сума всіх виплат за одиничний проміжок часу (у типовому випадку - за рік).

Серія з np виплат, кожна величиною 1/р, зроблених на початку підпроміжків, тобто в момент

; 1/p; …; (p-1)/p; …; n-1, n-1+1/p; …; n-1+(p-1)/p,

називається рентою з випередженням, виплачуваною із частотою p (annuity payable p thly in advance чи p thly annuity-due). Її цінність у даний момент  позначається  а цінність у момент  закінчення останнього платіжного періоду називається нагромадженням і позначається .

Величини  і , так само як і величини , оцінюють ту саму серію платежів, але в різні моменти часу. Тому між ними негайно може бути встановлений простий зв'язок:

Отже, нам досить мати формулу для величини  Із цією метою візьмемо за одиничний відрізок часу р-у частку початкового одиничного відрізка (наприклад, якщо р=12 і вихідний одиничний проміжок часу був один рік, то новим одиничним відрізком часу буде один місяць). Ефективна процентна ставка для цього нового одиничного відрізка дорівнює

де  - номінальна процентна ставка для основного одиничного проміжку, що нараховується із частотою р. Відповідно, нова облікова ставка дорівнює  а нове значення коефіцієнта дисконтування рівне

Тепер на ренту з випередженням, виплачувану із частотою р на проміжку (0, n), можна дивитися як на звичайну ренту з випередженням, виплачувану на проміжку (0, np). Оскільки кожна виплата дорівнює 1/р, ми маємо:

                                                                    (2.1.10)

де символом  позначено ефективну процентну ставку на проміжку, що розглядається в якості одиничного. Звідси випливає, що:

                                                                (2.1.11)

Для  вірна аналогічна формула:

                                                                           (2.1.12)

Неперервні ренти

Розглянемо тепер ренти із запізненням і з випередженням, які виплачуються із частотою р на проміжку [0, п], і припустимо, що . Неважко показати, що

Той факт, що ці границі співпадають, легко пояснити інтуїтивно.

Якщо  то ми маємо справу з більшою кількістю малих платежів (величиною 1/р кожний), які здійснюються через малі проміжки часу 1/р. При  можна розглядати надходження засобів як неперервний процес, подібний до плину рідини. При цьому на нескінченності різниця між платежами на початку й наприкінці проміжків зникне. Неперервний потік платежів, який з’явився у цьому міркуванні, називається неперервно виплачуваною рентою [7] (continuously payable annuity). Приведена вартість неперервного потоку платежів у момент  позначається

Розглядаючи надходження засобів у граничному випадку  як неперервний потік, легко безпосередньо визначити величину  як інтеграл

Можна ввести й довільну неперервну ренту на проміжку [0, n], що характеризується довільною швидкістю р(t) надходження засобів у момент t. Для такої ренти приведена вартість у момент  рівна інтегралу

Неперервні ренти часто використаються як наближення для рент, які виплачуються достатньо часто:

Можна одержати і більш точні формули:

Сума, накопичена до моменту t при неперервному надходженні засобів зі швидкістю 1, позначається  Вона може бути підрахована приведенням суми  до моменту t:

Детерміновані зростаючі ренти

Розглянемо п послідовних одиничних проміжків часу (0,1), (1, 2), …, (п-1, п). Під моментом  ми будемо мати на увазі поточний момент, а за одиничний проміжок часу приймемо один рік. Серія з п виплат величиною 1, 2, . . . , n, зроблених наприкінці цих проміжків, тобто в моменти   …,  називається зростаючою рентою із запізненням (increasing immediate annuity). Її приведена цінність у момент  у фінансовій математиці позначається Для підрахунку цієї величини потрібно всі платежі привести до початкового моменту, а потім додати: