Материал: book2 (1)
Теперь выразим эту закономерность в напряжениях, для этого нужно знать напряж¼нное состояние элемента.
Покажем ещ¼ раз элемент и напряжения, действующие по его гра-
ням, (они были рассмотрены при изучении темы "Сдвиг"). По четыр¼м граням элемента действуют только касательные напряжения это чи-
стый сдвиг (рис. 7.2.3). Следовательно, при кручении вала круглого поперечного сечения в любой его точке реализуется чистый сдвиг.
Рис. 7.2.3. Напряж¼нное состояние вала
При чистом сдвиге = · , поэтому
= · ·
это уравнение совместности деформаций в напряжениях.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Теперь составим уравнения равновесия (статики). Покажем поперечное сечение вала, крутящий момент к > 0. Покажем элементар-
ную часть сечения и напряжение , действующее в ней (рис. 7.2.4). Составим уравнение равновесия
∫
∑
= · = к.
Рис. 7.2.4. Поперечное сечение вала
Решая совместно уравнение совместности деформаций и уравнение равновесия, получим
· · ∫ 2 = к.
Величины и выносим за знак интеграла, так как они не зависят от радиуса. В этой формуле интеграл представляет собой полярный
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
момент инерции поперечного сечения вала: = |
· 4 |
. Тогда |
|||||
32 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
= |
к |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
· |
|
|
||||
где относительный угол закручивания, то есть угол закручивания
вала длиной, равной единице.
Чем больше полярный момент инерции, тем меньше относительный угол закручивания , то есть тем ж¼стче вал, поэтому произведение
· называется ж¼сткостью вала при кручении.
Подставим |
|
в формулу (1), тогда = · · |
к |
. Сократив , |
|
|
|
|
|||
|
|
· |
|||
получим окончательную формулу для касательных напряжений при
кручении
= к · .
Изобразим эпюру касательных напряжений на любом радиусе (рис. 7.2.5).
Видно, что наибольшие касательные напряжения действуют на по-
верхности вала и равны наиб = |
к |
|
· наиб, íî |
|
= момент |
|
наиб |
||||
сопротивления вала кручению, тогда |
|
|
|
||
наиб = к ,
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 7.2.5. Распределение касательных напряжений
где для круглого сечения = |
· 3 |
. |
|
16 |
|||
|
|
Переходим к расч¼ту на прочность. Условие прочности при круче- нии по любой теории наиб ≤ [ ]. По IV теории, которая наболее точна
для деталей из пластичных материалов, связь между допускаемыми
[ ]
напряжениями: [ ] = √3.
Подставим в условие прочности значение наиб в наиболее опасном
сечении
| к | наиб ≤ [ ].
Это условие прочности при кручении для всего вала. Здесь | к | наиб
Закрыть
бер¼тся с эпюры крутящего момента. По этому условию проверяется прочность вала (первая задача).
Вторая задача назначение размеров поперечного сечения решается так
≥ |
| к | наиб |
, |
èëè ≥ √3 |
|
16· | к | наиб |
|
. |
[ ] |
[ ] |
||||||
|
|
|
|
· |
|
|
|
Третья задача определение грузоподъ¼мности
| к | наиб≤ [ ] · .
По этой формуле определяется наибольший крутящий момент, а зная | к | наиб, можно найти допускаемые внешние пары сил.
Несколько слов о наиболее экономичном сечении вала. Покажем эпюру напряжений в вале сплошного сечения. Здесь возможности материала полностью используется только на поверхности вала. Остальной материал недогружен, особенно у оси. Поэтому необходимо убрать материал от оси. Получим (рис. 7.2.6) пустотелый вал.
У пустотелого вала весь материал работает при напряжениях, близких к допускаемому. Применение пустотелого вала приводит к увели- чению его грузоподъ¼мности при той же площади поперечного сече- ния. Но, если стенка вала очень тонкая, то может быть местная потеря устойчивости.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть