Материал: book2 (1)
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 8.2.3. Стержень с защемл¼нным и шарнирным концами
ский предложил общую формулу для любого случая закрепления
кр = 2 · · наим
( · )2
формула Ясинского. Здесь коэффициент приведения длины, ука-
зывающий, на какой длине данного стержня реализуется схема Эйлера,· привед¼нная длина.
Тогда: |
|
|
1) |
два шарнирно закрепл¼нных конца = 1; |
|
2) |
один защемл¼нный конец |
= 2; |
3) |
два защемл¼нных конца |
= 0,5; |
4) |
защемл¼нный и шарнирный концы = 0,7. |
|
Закрыть
Формула Ясинского широко применяется для расч¼та критических сил. В справочниках приводятся значения для различных способов
закрепления, промежуточных опор, стержней переменного сечения и т.д.
8.3.Пределы применимости формулы Эйлера. Полный график критических на-
пряжений
Запишем формулу Эйлера для критических напряжений: кр =
2 · |
|
= |
· |
. |
|
|
|||||
2 |
, ãäå |
min |
|||
|
|
Эту формулу широко применяли мостостроители, но бывали слу- чаи, когда вс¼ - таки стержни выходили из строя и мосты разрушались. Тогда формулу Эйлера отбросили, заменив массой эмпирических формул. Затем формула Эйлера была реабилитирована. Оказалось, что у ней есть пределы применимости.
При выводе формулы Эйлера использовалось облегч¼нное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки · · ′′ = ( ), которое
справедливо только для линейно упругих систем, то есть когда справедлив закон Гука ( ≤ п).
Следовательно, условие применимости формулы Эйлера: кр ≤ п
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
èëè |
2 · |
≤ |
п. Разрешим относительно |
||||
2 |
|||||||
|
≥ √ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
= пред, |
||
|
|
|
2 · |
|
|||
|
|
|
п |
||||
формулу Эйлера можно применять только для достаточно длинных стержней, у которых ≥ пред. Какие же это стержни?
Рассмотрим пример стержень из стали 20: п = 200 ÌÏà, пред =
√ |
|
·п |
|
= |
√ |
|
2 |
·200· |
105 |
|
= 100. Итак для сжатого стержня из стали 20 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
формулу Эйлера можно применять, если ≥ 100. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Конкретизируем пусть шарнирно оп¼ртый сòåðæåíü имеет круã- |
||||||||||||||||||||||||||
лое поперечное сечение. В этом случае = √ |
|
= √ |
64 |
· |
|
· 2 = |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
4 · |
|
≥ |
|
|
|
≥ |
|
· |
|
|
|
|
· |
|
· |
|
|||||
|
; = |
= |
|
100, отсюда |
25 |
только в этом случае для |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
стержней из стали 20 можно применять формулу Эйлера (рис. 8.3.1).
Для деталей машин это условие выполняется редко, чаще оказывается < пред, тогда кр < 2 ·
2 , поэтому были случаи разрушения. Полный график критических напряжений
С точки зрения потери устойчивости все сжатые стержни делятся на три группы:
1 группа. Стержни большой гибкости
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 8.3.1. Стержень круглого сечения с шарнирными опорами
К ним относятся стержни, для которых ≥ пред. При сжатии они
выпучиваются, теряют устойчивость и критическое напряжение вы- числяется по формуле Эйлера: кр = 2 ·
2 . Для стержней из стали 20
это стержни у которых ≥ 100.
2 группа. Стержни средней гибкости.
К ним относятся стержни, для которых гр ≤ < пред, ãäå гр
нижняя граница стержней средней гибкости, зависящая от материала стержня. Для стержней из стали 20 гр = 40.
Стержни средней гибкости выпучиваются достаточно большими силами, но кр < 2 ·
2 , так как потеря устойчивости происходит при упруго-пластическом изгибе (в крайних волокнах происходят пласти-
ческие деформации). Чаще всего гр è кр определяются опытным пу-
т¼м, но в последнее время появились и аналитические методы. 3 группа. Стержни малой гибкости
К ним относятся стержни, для которых < гр. Для стержней из
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
стали 20 это стержни, для которых < 40. При сжатии стержня выпу-
чивания не наблюдается, но при напряжениях, равных пределу теку- чести (пластичные материалы) или пределу прочности (хрупкие материалы) наблюдаются явления, формально похожие на потерю устой- чивости внезапное нарастание деформаций. В этом случае кр = т
èëè кр = в, хотя никакого выпучивания и не происходит.
Полный график критических напряжений рассмотрим на примере стержней из стали 20, у которой п = 200 ÌÏà, т = 240 МПа, граница
стержней малой гибкости = 40, граница стержней средней гибкости= 100 (рис. 8.3.2).
Рис. 8.3.2. Полный график критических напряжений для стержней из стали 20
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть