Материал: book2 (1)
уравнение изогнутой оси стержня половина волны синусоиды. Че- му равно наибольшее отклонение ? На этот вопрос ответить не пред-
ставляется возможным, так как использованы все граничные условия. Это расплата за линеаризацию дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. Чтобы найти прогибы, нужно использовать полное дифференциальное уравнение. Привед¼м график зависимомти максимальных перемещений в зависимости от силы, полученный в точном решении (В.И. Феодосьев)(рис. 8.1.3).
Рис. 8.1.3. Перемещения сжатого стержня
кр
Критическое напряжение кр = напряжение, при котором наблюдается выпучивание.
Подставим в эту формулу значение критической силы и учт¼м, что
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
наим |
= наим2 |
. Обозначим |
|
|
= гибкость стержня и получим |
|||
|
|
наим |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
кр = |
2 · · наим |
= |
2 · |
. |
||
|
|
|
|
|
2 · |
|
2 |
|
Чем больше гибкость, тем меньше критическое напряжение, тем меньшим усилием можно вывести стержень из положения равновесия.
кр = 2 ·2
формула Эйлера для критического напряжения.
8.2.Влияние способа закрепления стержня на критическую силу
Рассмотрим несколько случаев закрепления стержня.
1) Шарнирный случай закрепления называется основным или слу- чаем Эйлера (см. рис. 8.1.1).
кр = 2 · · наим .
2
2) Стержень ж¼стко защемл¼н одним концом (рис. 8.2.1).
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 8.2.1. Стержень с защемл¼нным концом
Какой будет формула для критической силы в этом случае? Нужно взять дифференциальное уравнение и удовлетворить новым гранич- ным условиям.
Однако, есть другой путь: продолжив стержень вниз на , видим, что формулу Эйлера можно применить для стержня длиной 2 , тогда
кр = 2 · · наим .
(2 · )2
Здесь кр в четыре раза меньше, чем в основном случае, следовательно
и грузоподъ¼мность стержня в четыре раза меньше, то есть это очень невыгодный случай закрепления.
Закрыть
3) Стержень с подвижно и неподвижно защемл¼нными концами |
|
||
Домашняя |
|||
(ðèñ. 8.2.2). |
|
||
|
|
||
|
|
||
JJ |
II |
|
|
J |
I |
Назад
На весь экран
Рис. 8.2.2. Стержень с подвижно и неподвижно защемл¼нными концами
Как найти кр в этом случае? Можно взять дифференциальное
уравнение и удовлетворить новым граничным условиям. Но можно воспользоваться одним результатом, следующим из решения Эйлера.
Отметим на изогнутой оси стержня две точки перегиба. В этих точ- ках кривизна равна нулю, следовательно, и изгибающий момент равен
1
íóëþ, òàê êàê = · .
В точках перегиба связь, с помощью которой переда¼тся изгибающий момент, не используется, следовательно, в этих точках можно
Закрыть
поставить идеальные шарниры ничего не изменится.
Видно, что часть рассматриваемого стержня длиной /2 находится в таких же условиях, как и в случае Эйлера, тогда
2 · · наим
кр = (0, 5 · )2 .
Здесь кр в четыре раза больше, чем в основном случае, то есть это
очень выгодное условие закрепления, существенно более экономичное, но формула будет справедлива, если по концам абсолютно ж¼сткое закрепление, а так бывает далеко не всегда. Как правило, закрепление бывает податливым, поэтому формулой Эйлера следует пользоваться осторожно.
4) Стержень с защемл¼нным и шарнирным концами (рис. 8.2.3). Если решать эту задачу подробно, то окажется, что точка перегиба
находится на расстоянии 0, 7 · от шарнирной опоры. Рассматривая этот случай аналогично предыдущему, получим
2 · · наим
кр = (0, 7 · )2 ,
òî åñòü кр в этом случае в два раза больше, чем при шарнирном за-
креплении.
Анализируя полученные зависимости, русский инженер Ф.С. Ясин-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть