Материал: book2 (1)
Используя метод сечений, рассмотрим равновесие верхней части пружины (рис. 7.4.2, а). Действие отброшенной части заменим поперечной силой = и крутящим моментом к = · /2. Â ñèëó
малости угла наклона витков нормальной силой и изгибающим моментом можно пренебречь, тогда в поперечном сечении витка будут
действовать толmко две группы касательных напряжений: от среза |
|||||||||
= |
|
= |
4 · |
= |
к |
= |
8 |
· · |
|
|
|
· 2 (ðèñ. 7.4.2, б) и от кручения |
|
|
· 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
(ðèñ. 7.4.2, â) .
Рис. 7.4.2. Напряжения в поперечном сечении пружины
Как видно из распределения напряжений, в точке В поперечного се-
чения витка на внутренней стороне пружины касательные напряженияè совпадают по направлению, поэтому
|
|
= + |
= |
4 · |
+ |
8 · · |
= |
4 · · |
· |
(1 + |
2 · |
) |
|
|
|
· 2 |
|
· 3 |
|
· 2 |
|
|
|||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
.
На внутренней и наружной поверхностz[ витка радиусы кривизны различны, поэтому используют более точную формулу для наибольших касательных напряжений
|
|
= |
8 · · |
· |
( |
4 |
· − 1 |
+ |
0, 615 |
), ãäå = / . |
|
· 3 |
4 |
· − 4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Для пружин большого диаметра из тонкой проволоки / >> 1,
поэтому касательные напряжения от кручения значительно больше напряжений от среза , которые можно не учитывать, тогда
= |
8 · · |
. |
|
· 3 |
|
При таком упрощении легко вычислить перемещение оси пружины (осадку), которая обозначается через . Вырежем из пружины эле-
мент длиной (рис. 7.4.3). После нагружения второе сечение пово-
к·
рачивается отностительно первого на угол , где = · , тогда
= · = · к· .·
Просуммируем осадку по всей длине стержня пружины
= ∫0 |
|
·· |
|
∫0 |
|
|
|
= · |
= · · · , |
||||||
|
|
к |
|
|
|
к |
|
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 7.4.3. Перемещения в цилиндрической пружине
витков |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ãäå = |
полная длина стержня пружины. Пренебрегая наклоном |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
, |
|
= · 4 . · |
· |
· |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ó÷ò¼ì, ÷òî к = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
к горизонтали получим |
|
|
|
|
|
|
, ãäå |
|
|
количество витков. |
||||||||||
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив полученные соотношения в выражение для , получим |
|||||||||||||||||||||
|
= |
· |
|
· · 2 · · · · 2 |
|
= |
4 3 |
= |
8 3 |
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
· · 4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|||||||
Теперь об условии ж¼сткости пружины: ≤ [ ], где [ ] допускаемое значение осадки, следовательно
8 3
4
≤ [ ]
условии ж¼сткости пружины.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
7.5.Кручение брусьев некруглого сечения
При кручении брусьев некруглого поперечного сечения гипотеза плоских сечений не применима, так как при закручивании происходит депланация (искривление) сечения. В связи с этим методами сопро-
тивления материалов напряжения определить невозможно. Методами теории упругости для брусьев прямоугольного сечения получены следующие зависимости (рис. 7.6.1).
Рис. 7.5.1. Кручение прямоугольного бруса
max = |
к |
, |
= |
к · |
, |
′ |
= |
· |
max, |
||
к |
|
||||||||||
|
|
|
|
· |
к |
|
max |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
ãäå max напряжение, действующее на поверхности бруса посередине большей стороны прямоугольника;
max′ напряжение, действующее на поверхности бруса посередине меньшей стороны прямоугольника;
к = · · 2 геометрический фактор прочности (условный момент
сопротивления сечения кручению);к = · · 3 геометрический фактор ж¼сткости (условный момент
инерции сечения при кручении).
Значения коэффициентов , , в зависимости от соотношения размеров прямоугольника / приведены в таблице
a/b |
1 |
1,5 |
2 |
3 |
4 |
6 |
8 |
10 |
∞ |
|
0,208 |
0,213 |
0,246 |
0,285 |
0,282 |
0,299 |
0,307 |
0,313 |
0,333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,141 |
0,196 |
0,229 |
0,263 |
0,281 |
0,299 |
0,307 |
0,313 |
0,333 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,000 |
0,859 |
0,795 |
0,753 |
0,745 |
0,743 |
0,742 |
0,742 |
0,742 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.6.Кручение тонкостенных брусьев (свободное кручение)
Кручение брусьев некруглого сечения может быть свободным или стесн¼нным. При свободном кручении нет препятствий к искривлению поперечных сечений. Брус будет испытывать свободное кручение, если по его длине крутящий момент и размеры поперечного сечения не
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть