Материал: book2 (1)

Эта формула получена для чистого изгиба, когда отсутствует попереч- ная сила. Что может изменить ? Она несколько изменяет прогибы

и, следовательно, кривизну, но поправка, которую вносит поперечная сила, невелика и ею пренебрегают. Поэтому формулу (1) можно применять и при поперечном изгибе. Она является практически точной (теоретически нет).

Рассмотрим любое сечение балки и элемент длиной . Из алгебры известно, что элемент можно считать элементом окружности.центр кривизны изогнутой оси балки в сечении . С помощью фор-

мулы (1) кривизна выражается через внешние силы, упругие свойства материала, размеры и форму поперечного сечения балки (рис. 6.10.3).

Рис. 6.10.3. Перемещения в консольной балке

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Кривизну можно выразить и через уравнение изогнутой оси балки. Из алгебры известно

Чтобы приравнять правые части формул (1) и (2),необходимо вы-

яснить, будут ли они с одинаковым знаком.

Формула (1): балка изгибается выпуклостью вниз, поэтому 1 > 0, так как > 0; формула (2): 1 > 0, òàê êàê ′′ > 0, то есть эти формулы дают кривизну с одинаковым знаком. Теперь можно приравнять правые части формул

полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. Здесь исключ¼н индекс у , т. к. в дальнейшем будем считать, что это мо-

мент инерции сечения относительно нейтральной оси, а индекс писать не будем.

Это нелинейное дифференциальное уравнение, которое можно решить на компьютере. Однако, в этом нет необходимости, так как уравнение можно упростить.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Поскольку ′ = << 1, à ( ′)2 <<< 1, то можно записать 1−( ′)2 ≈ 1. Умножим обе части равенства на · и получим

· · ′′ = ( )

облегч¼нное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (не приближ¼нное). Это уже простое уравнение, которое легко решается.

Проинтегрируем это уравнение

уравнение для прогибов. В этих уравнениях и постоянные

произведение силы на длину в кубе.

Замечание: Полученные формулы для и справедливы при ( ′)2 << 1. По ним нельзя определять перемещения гибких балок

здесь нужно использовать полное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Рис. 6.10.4. Определение перемещений

Пример (рис. 6.10.4). Для заданной балки определить прогиб и угол поворота сечения в концевом сечении консоли .

= · ( − ), тогда

· · ′′ = · ( − ),

· · ′ = · ( · − 2 ) + ,

2

· · = · ( · 2 − 3 ) + · + .

2 6

Из граничных условий определяем постоянные интегрирования:

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

Знак плюс следовательно поворот сечения происходит против часовой стрелки.

Знак плюс следовательно прогиб происходит вверх. Конкретизируем этот пример: для заданной стальной балки подо-

брать двутавровое сечение и определить прогиб и угол поворота сече- ния , если = 20 кН, = 2 м, [ ] = 160 МПа, = 2 · 105 ÌÏà.

Наиболее опасным является сечение (заделка) | |наиб= · =

Из данного примера видно, что

( ′)2 = (7, 168 · 10−3)2 = 5, 135 · 10−5 <<< 1.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть