Материал: book2 (1)

Покажем напряжения на гранях элемента: , , нормальные напряжения ( , ‖ ); , , , , , - касательные напря- жения ( касательное напряжение на площадке, перпендикулярной оси и направленное параллельно оси ).

Элемент должен находиться в равновесии, поэтому напряжения на противоположных гранях должны быть такими же по величине и противоположными по направлению. Таким образом, на тр¼х взаимно перпендикулярных площадках действуют 9 напряжений или 9 компонент напряж¼нного состояния детали в точке. Выпишем их в виде тензора напряжений

.

По закону парности касательных напряжений: = , = ,= , то есть из 9 компонент останется только 6: , , , , ,

.

Зная эти 6 напряжений, можно определить напряжения на любой площадке, проходящей через данную точку .

Если площадку поворачивать, то напряжения на ней меняются, и всегда можно найти такое положение площадки, когда касательные напряжения на ней равны нулю.

Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными, а напряжения, действующие на этих площадках,

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

называются главными напряжениями.

В теории упругости доказывается, что при любом напряж¼нном состоянии имеется как минимум три главных взаимно перпендикулярных

площадки.

Покажем бесконечно малый элемент, грани которого параллельны

главным площадкам (рис. 4.1.2). В этом случае (если известны главные напряжения и положение главных площадок), напряжения на любой площадке можно определить, имея три главных напряжения 1, 2,3, ïðè÷¼ì 1 ≥ 2 ≥ 3, òî åñòü 1 алгебраически наибольшее на- пряжение ( 1 = наиб), à 3 алгебраически наименьшее напряжение

( 3 = наим).

Рис. 4.1.2. Главные напряжения

Какие бы площадки, проходящие через данную точку . мы не рассматривали, напряжения на них не могут быть больше 1 и меньше 3.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

В частных случаях некоторые из главных напряжений могут быть равными нулю. В связи с этим различают 3 вида напряж¼нных состояний:

Рис. 4.1.3. Виды напряж¼нных состояний

I. Линейное напряж¼нное состояние (ЛНС) (рис. 4.1.3, à):

1)1 ̸= 0, 2 = 3 = 0 центральное растяжение;

2)1 = 2 = 0, 3 ̸= 0 центральное сжатие.

II. Плоское напряж¼нное состояние (ПНС) (рис. 4.1.3, á):

1)1 ̸= 0, 2 ̸= 0, 3 = 0;

2)1 ̸= 0, 2 = 0, 3 ̸= 0;

3)1 = 0, 2 ̸= 0, 3 ̸= 0.

III. Объ¼мное напряж¼нное состояние (ОНС) (рис. 4.1.3, â):

1 ̸= 0, 2 ̸= 0, 3 ̸= 0.

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

4.2.Напряжения на произвольной площадке при линейном напряжённом состоянии

Рассмотрим деталь произвольной формы ( рис. 4.2.1, а). Пусть хотя бы в одной точке этой детали реализуется линейное напряж¼нное

состояние. В окрестности этой точки вырежем бесконечно малый элемент и покажем его отдельно.

Рис. 4.2.1. Линейное напряж¼нное состояние

Пример такого нагружения брус при центральном растяжении или сжатии (рис. 4.2.1, б). Покажем, что при центральном растяжении действует лишь одно из главных напряжений. Вырежем в окрестности точки элемент, верхняя и нижняя грани которого перпендикулярны оси бруса. На этих гранях действует только нормальное напряжение,

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть

касательных напряжений нет. На боковых гранях нет ни нормальных, ни касательных напряжений (слои друг на друга не давят), то есть имеет место линейное напряж¼нное состояние.

Рассмотрим произвольную площадку, проходящую через данную точку . Положение этой площадки (рис. 4.2.1, в) определяется нор-

малью , то есть углом ( ). Рассмотрим действие верхней части элемента на нижнюю. Вв¼дем следующее правило знаков для угла :

при повороте против хода часовой стрелки угол положительный, а при повороте по ходу часовой стрелки отрицательный. Если обозначить через площадь нижней грани элемента, то площадь наклонной пло-

щадки будет равна / .

Покажем нормальное и касательное напряжения, действую- щие на площадке , и выразим их через . Направим ось по направ-

лению , а ось и составим уравнения равновесия для нижней части элемента

Домашняя

JJ II

J I

Назад

На весь экран

Закрыть