Материал: book2 (1)
Таким образом, мы получили формулы для определения напряжений на произвольной площадке при линейном напряж¼нном состоянии.
Проанализируем полученные формулы.
Формула для нормальных напряжений: =| | _наиб = при2 = 1 èëè ïðè = ±1; = ± , ãäå = 0, ±1, ±2, . . . , òî åñòü
при любых попадаем на те же главные площадки. Следовательно,
наибольшие нормальные напряжения действуют на главных площад- |
|||
êàõ. |
|
|
|
Формула для касательных напряжений да¼т: =| |наиб= 2 ïðè |
|||
2 = ±1; |
|
|
|
2 = 2 ± |
= 4 |
± 2 , ãäå = 0, ±1, ±2, . . . . |
|
Следовательно, какое бы не брали, всегда будем попадать на одну из площадок, наклон¼нных к главным площадкам под углом 45 (ðèñ. 4.2.2). Строго говоря, | | наиб действуют по конической поверхности.
4.3.Напряжения на произвольной площадке при плоском напряжённом состоянии
Рассмотрим произвольно нагруженное тело (рис. 4.3.1,а). Выберем точку , в которой имеет место плоское напряж¼нное состояние, то есть элемент в этой точке нагружен лишь по двум граням. Вырежем в
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 4.2.2. Наибольшие касательные напряжения
окрестности точки элемент, грани которого параллельны главным площадкам, и покажем его отдельно (рис. 4.3.1, á).
Изобразим произвольную площадку и напряжения и íà íåé, которые нам необходимо определить. Обозначим через угол между
наибольшим из главных напряжений и нормалью к площадке, тогда угол между напряжением и нормалью будет равен + 90 .
В сопротивлении материалов рассматриваются линейные системы, поэтому напряжения (деформации, перемещения) от группы сил можно найти как сумму напряжений (деформаций, перемещений) от каждой силы в отдельности (рис. 4.3.2). Этот принцип называется принципом независимости действия сил или принципом суперпозиции.
Следовательно, = +
,
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
Рис. 4.3.1. Напряжения на произвольных площадках
На весь экран
Рис. 4.3.2. Суммирование напряжений
|
ãäå = cos2 |
, |
|
|
= cos2 ( + 90 ) = sin2 , тогда |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos2 + sin2 . |
|
|
|||||||||||
Аналогично = |
|
+ |
, ãäå |
= |
|
sin 2 , |
= |
|
sin [2( + 90 )] = |
||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
− |
· sin 2 , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
· |
sin 2 . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Закрыть
Таким образом, мы получили формулы преобразования напряжений при повороте от главных площадок при плоском напряж¼нном состоянии.
Проанализуем полученные формулы
| |наиб= − ,
2
при sin 2 = ±1, откуда = ±4 + 2 .
Следовательно, наибольшие касательные напряжения равны полусумме главных напряжений и действуют на площадках, равнонаклон¼нных к главным (рис. 4.3.3).
Рис. 4.3.3. Положение площадок с наибольшими касательными напряжениями
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
4.4.Графический способ определения напря-
жений при плоском напряжённом состоянии. Круги Мора
В предыдущем параграфе были получены формулы для определения напряжений на произвольной площадке при плоском напряж¼нном состоянии
= cos2 + sin2 ; |
= |
− |
sin 2 . |
|
2 |
||||
|
|
|
Если в этих формулах исключить , то получим зависимость =( ), которая в осях , отображает окружность с центром на оси . О.Х. Мор использовал это обстоятельство для определения напряжений графическим способом. При этом можно решить два вида задач.
I задача (прямая)
Äàíî: , , (ðèñ. 4.4.1). Требуется определить: , . Изложим последовательность операций, а затем докажем, что они
правомерны (рис. 4.4.2).
Провед¼м оси , и отложим отрезки, равные главным напряжениям = , = . На отрезке , как на диаметре, построим окружность с центром в точке . Полученная окружность называется
кругом Мора или кругом напряжений. Пров¼дем из центра окружности радиус под углом 2 от оси против хода часовой стрелки (так
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть