Материал: book2 (1)
Рис. 4.4.1. Определение напряжений на произвольной площадке
как считаем, что угол положительный) и докажем, что координаты полученной точки соответствуют напряжениям на площадке .
|
|
|
= + = |
|
+ |
+ |
− |
cos 2 = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
· |
1 + cos 2 |
+ |
· |
1 − 2 |
|
= cos2 + |
|
sin2 |
, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
òî åñòü = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
sin 2 = |
− |
· |
sin 2 , |
|
òî åñòü |
|
|
|
= |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
· |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, мы доказали, что с помощью круга Мора можно определить напряжения на произвольной площадке . Следовательно, задача ре-
øåíà.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 4.4.2. Графическое определение напряжений на произвольной площадке
Точку можно было найти также с помощью хорды, провед¼нной из точки под углом к оси .
Графический способ Мора менее точный, чем аналитический. Однако, графическая интерпретация плоского напряж¼нного состояния
детали в точке является весьма удобной для анализа. Видно, что: = |
|||||||||
наиб, |
|
= наим, |
| |
|
| |
наиб= |
− |
, прич¼м, наибольшие касательные |
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
напряжения действуют на площадках, равнонаклон¼нных к главным площадкам.
Теперь найд¼м на круге Мора точку, соответствующую площадке, перпендикулярной площадке , т.е. = + 90 . Провед¼м радиус
под углом 2 = 2 + 180 и получим точку ( , = − ).
Закрыть
Важный вывод: точки, соответствующие двум взаимно перпендикулярным площадкам, лежат на концах одного диаметра круга Мора.
II задача (обратная).
Дано: , , , . Требуется определить: , , 0( ).
Рис. 4.4.3. Главные площадки и главные напряжения
Эта задача имеет для практики более важное значение, чем прямая задача.
Проводим координатные оси (рис. 4.4.4) , и строим в этих осях
точки ( , ) ( , ). Так как эти точки соответствуют взаимно перпендикулярным площадкам, то они лежат на концах одного диаметра круга Мора. Соединяем эти точки и определяем положение центра круга . Имея центр и диаметр, можно провести единственную
окружность. Задача решена.
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 4.4.4. Графическое определение главных напряжений
= , = .
Провед¼м хорду и получим угол от до , а нам нужен
óãîë 0 от до . Следовательно, 0 = − .
Проводим хорду ′ , ãäå ′ зеркальное отображение точки . Óãîë ′ и есть искомый угол 0.
Используя круг Мора, выведем аналитические зависимости для определения главных напряжений:
√
= = + = + 2 + 2 =
= |
2 |
+ √ |
|
|
|
|
|
|
( |
2 |
) |
|
+ = |
||||
|
+ |
|
|
− |
|
2 |
2 |
|
Закрыть
1 √
=2[( + ) + ( − )2 + 4 · 2].
Аналогично
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[( + ) − √( − )2 + 4 · 2]; |
|||||||
= = − = |
|
|||||||
2 |
||||||||
tg 0 = − |
|
= − |
|
|||||
|
|
. |
||||||
− |
− |
|||||||
При определении главных напряжений возможны три варианта:
1)> 0, > 0, тогда 1 = , 2 = , 3 = 0;
2)> 0, < 0, тогда 1 = , 2 = 0, 3 = ;
3)< 0, < 0, тогда 1 = 0, 2 = , 3 = .
4.5.Напряжения на произвольной площадке при объёмном напряжённом состоянии
Рассмотрим деталь произвольной формы, нагруженную уравновешенной системой сил, и точку детали, в которой имеет место объ¼м-
ное напряж¼нное состояние (рис. 4.5.1), òî åñòü 1 ̸= 0, 2 ̸= 0, 3 ̸= 0. Изобразим элемент отдельно (рис. 4.5.2). Покажем произвольную площадку, проходящую через точку . Нормаль к площадке образует
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть