Материал: book2 (1)
Домашняя
JJ II
J I
Назад
На весь экран
Рис. 4.7.1. Деформации при линейном напряж¼нном состоянии
жем в окрестности точки элемент, грани которого являются главными площадками и определим деформации в направлениях 1, 2, 3.
Принцип суперпозиции позволяет представить объ¼мное напряж¼нное состояние как сумму тр¼х линейных и записать (рис. 4.7.2, á-ã)
1 = 11 + 12 + 13 = 1 − · 2 − · 3 ;
èëè |
|
1 |
|
||
1 |
= |
· [ 1 − · ( 2 + 3)]; |
|||
|
|
||||
|
|||||
2 |
= |
1 |
· [ 2 − · ( 3 + 1)]; |
||
|
|
||||
|
|||||
Закрыть
Рис. 4.7.2. Принцип суперпозиции для вычисления деформаций
1
3 = · [ 3 − · ( 1 + 2)].
Эти уравнения представляют собой обобщ¼нный закон Гука, записанный в главных осях.
Относительные продольные деформации 1, 2, 3 по направлению
главных напряжений называют главными деформациями. |
|
1 ≥ 2 ≥ 3, òàê êàê 1 ≥ 2 ≥ 3. Кроме того 1 = наиб, |
3 = |
наим в алгебраическом смысле.
Теперь запишем закон Гука в произвольных осях, для чего вырежем в окрестности точки элемент, грани которого не являются главными площадками (рис. 4.7.3).
На площадках действуют 9 компонент напряж¼нного состояния. Нормальные напряжения вызывают только линейные деформации и не влияют на угловые. Касательные напряжения вызывают только угловые (сдвиговые) деформации и не влияют на линейные. Тогда
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 4.7.3. Напряжения на произвольных площадках
= |
1 |
|
· [ − · ( + )]; |
= |
|
; |
|
|
|
||||
= |
1 |
|
· [ − · ( + )]; |
= |
|
; |
|
|
|
||||
= |
1 |
|
· [ − · ( + )]; |
= |
|
, |
|
|
|
ãäå изменение первоначально прямого угла между прямыми, па- раллельными осям x и y. Покажем , для чего рассеч¼м тело плоскостью, параллельной плоскости , до и после нагружения (рис. 4.7.4).
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
Рис. 4.7.4. Графическая интерпретация угла сдвига
4.8.Потенциальная энергия упругой деформации при объёмном напряжённом состоянии
Потенциальная энергия упругой деформации при центральном растяжении или сжатии, то есть в случае линейного напряж¼нного состояния, определяется по формуле
= |
|
2 · |
= |
1 |
· |
|
· |
, |
|||
|
|
2 |
|||||||||
2 |
· |
|
· |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
учитывая, что = · .
·
Удельная потенциальная энергия упругой деформации, то есть энер-
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть
гия, накопленная в единие объ¼ма, при линейном напряж¼нном состоянии
0 = |
|
= |
2 · |
= |
|
2 |
= |
· · |
= |
· |
. |
|
2 · · · · |
|
· |
2 · |
2 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||
.
Согласно принципа суперпозиции, удельная потенциальная энергия при объ¼мном напряж¼нном состоянии (рис. 4.8.1) определяется как сумма энергий, накапливаемых в единице объ¼ма под действием каждого из главных напряжений 1, 2, 3:
Рис. 4.8.1. Объ¼мное напряж¼нное состояние
|
|
= |
1 · 1 |
+ |
2 · 2 |
+ |
3 · 3 |
= |
1 |
· |
[ |
1 · |
( |
1 |
− |
|
· |
2 |
− |
|
· |
3 |
)+ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Домашняя
JJ II
J
I
Назад
На весь экран
Закрыть