Материал: Polyakov_Tu_Metoda

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			© К.Ю. Поляков, 2008
T	dy(t)	− y(t) = k x(t)	(40)
T	dt	− y(t) = k x(t)	(40)
	dt

Как видим, все отличие от (39) – только в знаке в левой части h(t) уравнения (плюс сменился на минус). Однако при этом кардинально меняются переходная и импульсная характеристики:

		t			w(t) =	k		t
h(t) = k exp			−1	,			exp		.
						T
	T						T

Обычно предполагается, что постоянная времени T > 0 , тогда экс-
поненты в этих выражениях бесконечно возрастают с ростом t .
Поэтому звено названо «неустойчивым»: в покое оно находится в
неустойчивом равновесии, а при малейшем возмущении «идет
вразнос».	0
Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого и

неустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и времени.

постоянными

20lg k

Из этого графика видно, что ЛАЧХ неус-

− 20 дБ/дек

тойчивого звена точно совпадает с ЛАЧХ ана-

(ω)

логичного устойчивого, но отрицательный фа-

зовый сдвиг значительно больше. Устойчивое

апериодическое звено относится к минимально-

= 1

фазовым звеньям, то есть его фаза по модулю

меньше, чем фаза любого звена с такой же ам-

-90

плитудной характеристикой. Соответственно,

неустойчивое звено – неминимально-фазовое.

ω) -135

неминимально-фазовым звеньям от-

φ(

носятся все звенья, передаточные функции ко-

-180

торых имеют нули или полюса в правой полу-

плоскости, то есть, с положительной вещест-

венной частью. Для минимально-фазовых звеньев все нули и полюса передаточной функции

находятся в левой полуплоскости (имеют отрицательные вещественные части). Например, при

положительных постоянных времени T1 , T2 и T3

звено с передаточной функцией

W (s) =

T1s +1

(T s +1)(T s +1)

– минимально-фазовое, а звенья с передаточными функциями

W1 (s) =

T1s

, W1 (s) =

T1s −1

, W3 (s)

T1s +1

(T2 s +1)(T3s −1)

(T2 s +1)(T3s +1)

(T2 s −1)(T3s −1)

– неминимально-фазовые.

4.3. Колебательное звено

Колебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида

W (s) =		k	,
	b s2	+b s +1
2		1

знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, b12 −4b2 < 0 ). Как извест-

но из теории дифференциальных уравнений, свободное движение такой системы содержит гармонические составляющие (синус, косинус), что дает колебания выхода при изменении входного сигнала.

Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме

								© К.Ю. Поляков, 2008
				k
			W (s) = T 2s2 + 2Tξs +1						(41)
где k	– коэффициент, T		– постоянная времени		(в секундах), ξ		–		параметр затухания
( 0 < ξ <1). Постоянная времени определяет инерционность объекта,							чем она больше, тем мед-
леннее изменяется выход при изменении входа. Чем больше ξ , тем быстрее затухают колеба-
ния.
При ξ = 0 в (41) получается консервативное звено, которое дает незатухающие колебания
на выходе. Если ξ ≥1, модель (41) представляет апериодическое звено второго порядка, то есть
последовательное соединение двух апериодических звеньев.
Колебательное звено относится к позиционным звеньям, его статический коэффициент
усиления равен W (0) = k .
Переходная и импульсная характеристики отличаются выраженной колебательностью,
особенно при малых значениях параметра затухания ξ . На следующих двух графиках синие
линии соответствуют ξ = 0,5 , а красные – ξ = 0,25 .
	h(t)	ξ = 0,25			w(t)
		ξ = 0,25				ξ = 0,25


	k					ξ = 0,5
		ξ = 0,5				ξ = 0,5
		ξ = 0,5
					0				t
	0		t
Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются
на сопрягающей частоте ωc			= 1 . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звено
			T
позиционное), причем в этой областиLm ≈ 20lg k .
На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен
−40 дБ/дек,		так как степень знаменателя пе-		20lg k					−40 дБ/дек
редаточной функции на два больше степени ее				ω)
числителя. Фазовая характеристика меняется				(
					m
				L
от 0 до −180°, причем на сопрягающей часто-
те ωc	она равна −90°.						ω		= 1
При значениях ξ < 0,5			ЛАЧХ имеет так				ω	c	= 1
								c	T
					0				T
называемый «горб» в районе сопрягающей					0
называемый «горб» в районе сопрягающей
частоты, причем его высота увеличивается с				φ(ω)
уменьшением ξ . Это означает, что при часто-				φ(ω)	-90
те входного сигнала, равной ωc , наблюдается
резонанс, то есть частота возмущения совпада-				-180
ет с частотой собственных колебаний системы.

Впредельном случае при ξ = 0 (консервативное звено) ЛАЧХ терпит разрыв (обращается

вбесконечность) на частоте ωc , при таком входе амплитуда колебаний неограниченно растет и на практике объект разрушается.

4.4. Интегрирующее звено

Простейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входной сигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.

Интегрирующее звено описывается уравнением

dy(t) = k x(t) ,		(42)
dt
которому соответствует передаточная функция W (s) = k		. Решение уравнения (42) дает
	s
y(t) = y(0) + k ∫t	x(τ) dτ .
0
Используя это решение для единичного скачка ( x(t) =1		при t ≥ 0 ) при нулевых начальных ус-

ловиях ( y(0) = 0 ), получаем линейно возрастающую переходную характеристику: h(t) = k t .

Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельтафункции на любом интервале, включающем t = 0 , равен 1. Поэтому w(t) = k (при t ≥ 0 ).

h(t)	w(t)
	w(t)
	k

	tgα = k
						t
0		t	0			t
Частотная	характеристика	интегрирующего	звена	определяется	формулой

W ( jω) = jkω = − j ωk . Можно показать, что его логарифмическая амплитудная частотная харак-

теристика – это прямая с наклоном −20 дБ/дек. На низких частотах усиление максимально, теоретически на частоте ω = 0 оно равно бесконечности. Высокие частоты, наоборот, подавляются интегратором.

ω)		20lg k	−20 дБ/дек
ω)
(
m
L	0
	0
		ω =1	ω = k
	0

φ(ω)

-90

-180

На частоте ω =1 значение ЛАЧХ равно 20lg k , а при ω = k ЛАЧХ обращается в нуль, поскольку W ( jω) =1 . Фазовая характеристика φ(ω) = −90° – говорит о постоянном сдвиге фазы на всех частотах.

4.5. Дифференцирующие звенья

Дифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнение идеального дифференцирующего звена y(t) = k dxdt(t) , его операторная запись y(t) = k p x(t) , а

передаточная функция W (s) = k s .

Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала 1(t) в точке t = 0 – это дельта-функция δ(t) . Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звена

h(t) = kδ(t) , w(t) = k dδ(t) . dt

Это физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное дифференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена – прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс Lm (ω) = 0 на частоте ω = 1k . При

ω =1 ЛАЧХ равна Lm (1) = 20lg k . Дифференцирующее звено подавляет низкие частоты (произ-

водная от постоянного сигнала равна нулю) и бесконечно усиливает высокочастотные сигналы, что требует бесконечной энергии и невозможно в физически реализуемых системах.

ω)		20 дБ/дек	20lg k
(
m
L	0
	0
		ω =1/ k	ω =1
180

φ(ω)

Фазовая характеристика не зависит от частоты, звено дает положительный сдвиг фазы на 90o . Действительно, при дифференцировании сигнала x(t) = sinωt получаем

y(t) = cosωt = sin(ωt +90°) .

Дифференцирующее звено реагирует не на изменение самой входной величины, а на изменение ее производной, то есть на тенденцию развития событий. Поэтому говорят, что дифференцирующее звено обладает упреждающим, прогнозирующим действием. С его помощью можно ускорить реакцию системы.

В технике не могут использоваться физически нереализуемые звенья. Поэтому важно рассмотреть аналогичное звено, которое выполняет дифференцирования низкочастотных сигналов и одновременно имеет ограниченное усиление на высоких частотах. Инерционное дифференцирующее звено описывается уравнением

T	dy(t)	+ y(t) = k dx(t)
	dt	dt

и имеет передаточную функцию W (s) = Tsks+1 . Фактически это последовательное соединение

идеального дифференцирующего и апериодического звеньев.

Апериодическое звено добавляет инерционность: обладая свойствами фильтра низких частот, оно ограничивает усиление на высоких частотах. Поскольку передаточная функция

имеет равные степени числителя и знаменателя, на высоких частотах (выше сопрягающей частоты ωc =1/ T ) ЛАЧХ имеет нулевой наклон, поэтому неограниченного роста коэффициента

усиления не происходит. Одновременно теряется точность дифференцирования, так как фазовая характеристика изменяется от 90° до нуля.

ω)	20 дБ/дек
(
m
L
	ω =1/T
90

φ(ω)

4.6. Запаздывание

Представим себе трубу, через которую вентилятор прокачивает воздух. В начале трубы установлен нагреватель, а температура воздуха измеряется датчиком в точке А.

заданная
температура	нагреватель	датчик	А
		температуры	А

поток

воздуха

Очевидно, что при изменении температуры воздуха датчик обнаружит это не сразу, а через время τ = L / v , где L

– длина трубы (в метрах), а v – скорость потока воздуха (в м/с). В этом случае говорят, что в системе есть транспортное запаздывание на величину τ (в секундах).

Другой распространенный пример – вычислительное запаздывание в компьютере. Так называется время, которое необходимо для расчета нового управляющего сигнала после получения всех исходных данных.

Запаздывание в системе просто сдвигает сигнал вправо на временной оси, не меняя его формы. Математически это можно записать в виде

y(t) = x(t −τ) .

Изображение сигнала на выходе звена запаздывания вы-

числяется по теореме о смещении аргумента для преоб-

разования Лапласа:

Y (s) = L{y(t)} = ∞∫x(t −τ) e−st dt = e−sτ ∞∫x(t) e−st dt =e−sτ X (s) ,

0 0

поэтому передаточная функция звена чистого запаздывания равна Wτ (s) = e−sτ .

Смотрите также:

3. Асептика
Законодательные акты и стандарты, регулирующие оценку бизнеса
Основы теории управления. Лопатин Р.С., Федорков Е.Д
Поэтический синтаксис Тумаса Транстрёмера и его перевод на русский язык
Предмет і завдання сучасної психології, її значення в життєдіяльності людини
Разработка и построение системы автоматизации документооборота в профкоме
Создание экспертной системы для подбора помещений для аренды
Хронический запор: современные методы лечения