Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

Введем оператор дифференцирования p = dtd , который действует на сигнал x(t) по пра-

на сигнал x(t) . Иначе говоря, формула y(t) =W ( p) x(t) – это не что иное, как символическая

запись уравнения (18), которую удобно использовать.

Функция W ( p) называется передаточной функцией объекта, который описывается

уравнением (18). Она полностью описывает связи между выходом и входом объекта при нулевых начальных условиях, но не учитывает его внутреннее устройство.

Часто передаточной функцией называют функцию W (λ) , которая получается из (22) в ре-

зультате замены оператора p на некоторую независимую переменную λ . Эта фукнция представляет собой отношение двух полиномов (многочленов) от λ .

Передаточная функция W (λ) называется правильной, если степень ее числителя не

больше, чем степень знаменателя; строго правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя; неправильной, если степень числителя больше, чем степень знаменателя. Напри-

точках λ = −1 и λ = −2 .

3.6.Преобразование Лапласа

3.6.1.Что такое преобразование Лапласа?

Одна из первых задач, которые были поставлены в теории управления – вычисление выхода системы при известном входе. Мы видели, что для ее решения нужно решать дифференци-

26

© К.Ю. Поляков, 2008

альные уравнения. Чтобы упростить процедуру, математики придумали преобразование, которое позволило заменить решение дифференциальных уравнений алгебраическими вычислениями, то есть, операциями с полиномами (многочленами) и рациональными функциями.

Для функции f (t) вводится преобразование Лапласа, которое обозначается как L{ f (t)}:

где j = −1 , а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился4.

На практике вместо интеграла (24) чаще всего используют готовые таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Например, изображения по Ла-

3.6.2. Свойства преобразования Лапласа

Преобразование Лапласа имеет несколько замечательных свойств. Во-первых, используя (23) и (24), легко доказать, что принцип суперпозиции выполняется как для прямого, так и для обратного преобразования Лапласа:

начальных условиях изображение производной равно изображению самой функции, умноженному на s . Аналогично для построения изображения i -ой производной нужно умножить изо-

бражение функции на si (это также справедливо только при нулевых начальных условиях). Кроме того, с помощью преобразование Лапласа можно сразу найти начальное и конеч-

ное значения функции-оригинала (при t = 0 и t → ∞ ), не вычисляя самого оригинала:

3Преобразование Лапласа определяется для функций ограниченного роста, таких что f (t) < Meαt , где M и α – постоянные, и α называется показателем роста функции f (t) . Для всех s, вещественная часть которых боль-

ше α ( в области Re s >α ) функция f (t)e−st затухает при t → ∞ и интеграл (23) сходится.

4Постоянная σ должна быть больше, чем показатель роста α функции-оригинала f (t) . При этом можно показать, что значение интеграла (24) не зависит от выбора σ .

5Если функция имеет разрыв при t = 0 , нужно брать предел слева, то есть ее значение при бесконечно малом отрицательном t .

27

Применим к левой и правой частям преобразование Лапласа, считая, что все начальные условия нулевые. Получается уравнение в изображениях, связывающее преобразования Лапласа входа X (s) и выхода Y (s) :

b2 s2Y (s) + b1 sY (s) + b0 Y (s) = a1 sX (s) + a0 X (s)

Можно вынести за скобки Y (s) в левой части и X (s) в правой части: (b2s2 +b1s +b0 ) Y (s) = (a1s +a0 ) X (s) .

Разделив обе части этого равенства на b2 s2 +b1s +b0 , получаем

Сравнение (22) и (30) показывает, что W (s) – это передаточная функция объекта, записанная в виде функции от комплексной переменной s , а не от оператора дифференцирования p , как

в (22).

Таким образом, при нулевых начальных условиях изображение выхода линейного объек-

та вычисляется как произведение его передаточной функции на изображение входного сигнала.

Из (30) следует и другой важный вывод: передаточная функция равна отношению изображений по Лапласу выхода и входа при нулевых начальных условиях.

3.6.4. Пример

Рассмотрим пример использования преобразования Лапласа для вычисления выхода системы при известном входном сигнале. Пусть объект управления описывается уравнением первого порядка (16):

и на его вход поступает единичный ступенчатый сигнал x(t) = 1(t) . Требуется найти сигнал выхода y(t) , который в данном случае представляет собой переходную характеристику.

Решим эту задачу с помощью передаточных функций и изображений сигналов по Лапласу. Чтобы найти изображение выхода по формуле (30), нужно знать изображение входного сигнала X (s) и передаточную функцию звена W (s) . Изображение входа находим по табличным

данным (см. (25)), а передаточную функцию – из (31), повторяя приведенные выше рассуждения:

Используя принцип суперпозиции для изображений (27), вычисляем оригинал – сигнал выхода:

Обратные преобразования Лапласа находим по таблице (25):

28

© К.Ю. Поляков, 2008

что совпадает с (17). Таким способом можно вычислять реакцию системы на известный входной сигнал без прямого решения дифференциального уравнения.

Применяя формулы (28) для вычисления начального и конечного значений сигнала выхо-

Значение W (0) называют статическим коэффициентом усиления звена, поскольку он показывает, во сколько раз усиливается постоянный сигнал.

3.7. Передаточная функция и пространство состояний

Используя преобразование Лапласа, можно построить передаточную функцию для модели объекта в пространстве состояний

x&(t) = A x(t) + B u(t) y(t) = C x(t) + D u(t)

Напомним, что здесь u(t) , y(t) и x(t) обозначают соответственно вход, выход и вектор состоя-

ния объекта. Преобразуя левые и правые части каждого уравнения по Лапласу (переходя к изображениям сигналов по Лапласу при нулевых начальных условиях), получаем

s X (s) = A X (s) + B U (s)

(32)

Y (s) = C X (s) + D U (s)

В первом уравнении перенесем все члены, зависящие от X (s) , в левую часть:

(s I − A) X (s) = B U (s) ,

где I обозначает единичную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы – нули. Умножая обе части последнего равенства на (s I − A)−1 , получим выражение для X (s) :

X (s) = (s I − A)−1 B U (s)

которое при подстановке во второе уравнение в (32) дает

Y (s) = C (s I − A)−1 B U (s) + D U (s) = [C (s I − A)−1 B + D]U (s) .

Чтобы определить передаточную функцию, найдем отношение изображений выхода и входа:

Обратный переход, от передаточной функции к модели в пространстве состояний, более сложен и неоднозначен. Дело в том, что каждой передаточной функции соответствует бесчисленное множество моделей в пространстве состояний. Одну из них можно найти следующим образом. Для передаточной функции

где d, ai (i = 0,1,2) и bi (i = 0,1,2) – постоянные коэффициенты, модель в пространстве состояний задается матрицами

29

© К.Ю. Поляков, 2008

При увеличении порядка передаточной функции (степени ее знаменателя), эти матрицы расширяются. В нижней строке матрицы A записываются коэффициенты знаменателя с обратным знаком, над главной диагональю – единицы, а остальные элементы – нули. В матрице B только самый последний элемент – единица, а остальные – нули. Наконец, матрица С строится из коэффициентов числителя передаточной функции.

Отметим, что модель, заданную неправильной передаточной функцией (у которой степень числителя больше степени знаменателя) нельзя представить в пространстве состояний.

Рассмотрим простой объект, модель которого задана в пространстве состояний матрицами

Заметим, что эти матрицы отличаются от исходных, однако если найти передаточную функцию по формулам (33), мы получим тот же самый результат. Это говорит о том, что одной и той же передаточной функции могут соответствовать разные модели в пространстве состояний. Если известна одна такая модель с матрицами A, B, C и D, то все остальные модели могут быть полу-

где P – некоторая обратимая матрица (ее определитель должен быть ненулевым). При таком преобразовании передаточная функция не меняется (проверьте это!). Фактически мы переходим

Вместо исходной модели второго порядка (два уравнения, две переменные состояния) мы получили модель первого порядка. Что же произошло? Оказалось, что при нулевых начальных условиях состояние объекта определяется одной переменной, а зависимость между входом и выходом системы – одним уравнением первого порядка. Поэтому произошло сокращение числителя и знаменателя передаточной функции.

Если нас интересуют только связь входа и выхода (а не внутренние сигналы в объекте) и начальные условия нулевые, можно использовать модель первого порядка. Однако при ненулевых начальных условиях нужно использовать исходную модель в пространстве состояний, потому что передаточная функция дает неполную информацию. Это особенно важно при анализе устойчивости системы (см. разд. 6.4).

30