Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

3.8. Частотные характеристики

Еще один популярный эталонный сигнал – гармонический (синус, косинус), например:

где ω – угловая частота (в радианах в секунду). Можно показать, что при таком входе на выхо-

Запись W ( jω) означает, что в передаточную функцию W (s) подставляется чисто мнимое число s = jω , где j = −1 . Для каждой частоты ω значение W ( jω) = P + jQ – это некоторое ком-

плексное число, имеющее амплитуду W ( jω) = P2 +Q2 и фазу argW ( jω) = arctg QP .

Функция W ( jω) называется частотной характеристикой звена, поскольку она характеризует выход системы при гармонических сигналах разной частоты. Зависимости P(ω) и Q(ω)

(вещественная и мнимая части W ( jω) ) – это вещественная и мнимая частотные характери-

стики.

Функции A(ω) и φ(ω) (они для каждой частоты принимают вещественные значения) на-

зываются соответственно амплитудной и фазовой частотными характеристиками (АЧХ и ФЧХ). Амплитудная частотная характеристика – это коэффициент усиления гармонического сигнала. Если на какой-то частоте ω значение A(ω) >1, входной сигнал усиливается, если

A(ω) <1, то вход данной частоты ослабляется.

По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:

1)фильтр низких частот – пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковым коэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;

2)фильтр высоких частот – пропускает высокочастотные сигналы, блокирует сигналы низкой частоты;

3)полосовой фильтр – пропускает только сигналы с частотами в полосе от ω1 до ω2 ;

4)полосовой режекторный фильтр – блокирует только сигналы с частотами в полосе от ω1 до ω2 , остальные пропускает.

На рисунке показаны амплитудные частотные характеристики идеальных фильтров этих четырех типов:

6Здесь, конечно, предполагается, что при синусоидальном входном сигнале система не «идет вразнос», то есть, ее выходной сигнал не растет неограниченно (система является устойчивой).

31

© К.Ю. Поляков, 2008

В радиотехнике используется понятие полосы пропускания – это ширина полосы частот, в кото-

рой значение АЧХ больше, чем 1/ 2 от ее максимального значения.

Частотные характеристики во многих случаях можно снять экспериментально. Если объект устойчивый, на его вход подается гармонический сигнал (36) и записывается сигнал y(t) на

выходе. Определив амплитуду и сдвиг фазы для разных частот, можно построить по точкам амплитудную и фазовую частотные характеристики.

Если объект неустойчив, то при подаче на вход синуса амплитуда колебаний на выходе будет неограниченно расти. Однако частотную характеристику все равно можно определить экспериментально. Для этого нужно сначала найти какой-нибудь регулятор, который сделает замкнутую систему устойчивой. Затем на вход r(t) подают синусоидальный сигнал и сравни-

вают сигналы x(t) и y(t) на входе и выходе интересующего нас объекта, определяя для каждой

3.9. Логарифмические частотные характеристики

Частотные характеристики достаточно сложно строить вручную. В 60-е годы, когда развивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наибольшую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было проектировать регуляторы с помощью ручных вычислений и построений. Один из таких подходов основа на использовании логарифмических частотных характеристик.

Вместо A(ω) было предложено использовать логарифмическую амплитудную частотных характеристику (ЛАЧХ): график, на котором по оси абсцисс откладывается десятичный логарифм частоты ( lgω ), а по оси ординат – величина Lm (ω) = 20lg A(ω) , измеряемая в децибелах

(дБ). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФЧХ) по оси абсцисс также откладывается логарифм частоты lgω .

Единицей отсчета на логарифмической оси частот является декада – диапазон, на котором частота увеличивается в 10 раз (а значение ее логарифма увеличивается на единицу). Вместе ЛАЧХ и ЛФЧХ называются логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой

(ЛАФЧХ) или диаграммой Боде.

Логарифмические характеристики обладают двумя ценными свойствами:

32

© К.Ю. Поляков, 2008

1)ЛАЧХ и ЛФЧХ для произведения W1 (s)W2 (s) вычисляются как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев:

2)в области высоких и низких частот ЛАЧХ асимптотически приближаются к прямым, наклон которых составляет ± 20 дБ/дек (децибел на декаду), ± 40 дБ/дек и т.д.

В классической теории управления хорошо разработаны методы анализа и синтеза систем на основе асимптотических ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и легко строятся вручную. C появлением компьютерных средств расчета практическая ценность ЛАФЧХ несколько снизилась, однако они по сей день остаются простейшим инструментом прикидочных расчетов для инженера.

На рисунке показаны точная (сплошная синяя линия) и асимптотическая (штриховая красная линия) ЛАФЧХ для звена первого порядка с передаточной функцией

W (s) = Ts1+1 при T =1 с.

Первая асимптота, определяющая поведение ЛАЧХ на низких частотах, имеет нулевой наклон, потому что звено относится к классу позиционных звеньев, имеющих постоянный ненулевой статический коэффициент усиления, то есть

W (0) =1 ≠ 0 .

Если W (0) = 0 , передаточная функция содержит множитель sk ( k > 0 ), который соответ-

ствует производной порядка k . В этом случае наклон ЛАЧХ на низких частотах равен k 20 дБ/дек.

Если W (0) = ∞, звено содержит один или несколько интеграторов, то есть в знаменателе

есть сомножитель sk . Тогда наклон ЛАЧХ на низких частотах равен −k 20 дБ/дек.

Наклон ЛАЧХ на высоких частотах определяется разностью степеней числителя и знаменателя передаточной функции. Если числитель имеет степень m , а знаменатель – степень n , то наклон последней асимптоты равен 20 (m −n) дБ/дек. В нашем примере m −n = 0 −1 = −1.

Поэтому вторая асимптота, определяющая свойства звена на высоких частотах, имеет наклон −20 дБ/дек, то есть, за одну декаду значение уменьшается на 20 дБ (проверьте по графику!).

33

© К.Ю. Поляков, 2008

4. Типовые динамические звенья

Обычно система управления состоит из отдельных блоков, каждый из которых описывается уравнениями низкого порядка (чаще всего – первого или второго). Для понимания работы системы в целом желательно хорошо представлять, как ведут себя ее отдельные элементы. Кроме того, при построении ЛАФЧХ сложной системы передаточную функцию разбивают на простейшие сомножители

W(s) =W1 (s) W2 (s)... WN (s)

идалее, воспользовавшись свойствами ЛАФЧХ, строят характеристики для всей системы как суммы ЛАЧХ и ЛФЧХ отдельных звеньев.

4.1.Усилитель

Звенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, то есть W (0) = k ≠ 0 , называются позиционными. Это значит, что числитель и знаменатель переда-

точной функции имеют ненулевые свободные члены (постоянные слагаемые).

Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его передаточная функция W (s) = k . Строго говоря, он не является динамическим звеном, поскольку из-

менение выхода происходит мгновенно, сразу вслед за изменением входа. При действии на вход единичного ступенчатого сигнала 1(t) (или дельта-функции δ(t) ) на выходе будет такой

же сигнал, усиленный в k раз, поэтому переходная и импульсная характеристики звена равны h(t) = k (t > 0) и w(t) = k δ(t) .

Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в k раз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависят от частоты входного сигнала:

A(ω) = k , φ(ω) = 0 .

4.2. Апериодическое звено

Одно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описывается дифференциальным уравнением

постоянная, которая называется постоянной времени звена. Постоянная времени – размерная величина, она измеряется в секундах и характеризует инерционность объекта, то есть скорость его реакции на изменение входного сигнала.

В разд. 3.3 и 3.4 мы уже нашли переходную и весовую функции апериодического звена

Они показаны на рисунке:

34

Обратите внимание, что предельное значение переходной характеристики равно k , а касательная к ней в точке t = 0 пересекается с линией установившегося значения при t = T . Переходная и импульсная характеристики выходят на установившееся значение (с ошибкой не более 5%) примерно за время 3T . Эти факты позволяют определять постоянную времени эксперимен-

Для каждой частоты ω значение W ( jω) – это точка на комплексной плоскости. При изменении

ω от 0 до ∞ получается кривая, которая называется годографом Найквиста (диаграммой Найквиста). В данном случае можно показать, что частотная характеристика – это полуокружность с центром в точке (0,5k; 0) радиуса 0,5k . Годограф начинается (на нулевой частоте) в

точке (k; 0) и заканчивается в начале координат (при ω → ∞).

Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются на сопрягающей частоте ωc = T1 . На низких частотах она имеет нулевой наклон (так как звено

позиционное), причем в этой областиLm ≈ 20lg k .

На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен −20 дБ/дек, так как степень знаменателя передаточной функции на единицу больше степени ее числителя. Фазовая характеристика меняется от 0 до −90°, причем на сопрягающей частоте ωc она равна −45°.

Поскольку ЛАЧХ уменьшается на высоких частотах, апериодическое звено подавляет высокочастотные шумы, то есть обладает свойством фильтра низких частот.

Для сравнения рассмотрим также неустойчивое апериодическое звено, которое задается уравнением

35