Документ: Polyakov_Tu_Metoda, страницы 41-45 | Студенческое хранилище

Очевидно, что при гармоническом входном сигнале запаздывание не изменяет амплитуду, но вносит дополнительный отрицательный сдвиг фазы. Частотная характеристика этого звена

имеет вид Wτ ( jω) = e− jωτ . По общим формулам находим:

A( jω) = Wτ ( jω) =1, φ( jω) = argWτ ( jω) = −ωτ .

Таким образом, фазовая частотная характеристика звена запаздывания – линейная функция частоты ω , чем больше частота, тем больше фазовый сдвиг.

4.7. «Обратные» звенья

Звено с передаточной функцией ~ ( ) = 1 назовем «обратным» звеном для звена с

W s W (s)

передаточной функцией W (s) (или инверсией для этого звена). Предположим, что мы знаем

ЛАФЧХ для исходного звена и хотим найти ЛАФЧХ «обратного» звена без вычислений. Эта задача имеет простое решение.

Для исходного звена W ( jω) = P(ω) + jQ(ω) , где P(ω) и Q(ω) – соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики. Амплитудная и фазовая характеристики имеют вид

	A(ω) = P2 (ω) +Q2 (ω) ,				φ(ω)		= arctg Q(ω) .
								P(ω)
Для «обратного» звена получим								P(ω) − jQ(ω)
~	1			1				P(ω) − jQ(ω)
W	( jω) =		=			=				,
W	( jω) =	W ( jω)	=	P(ω) + jQ(ω)		=		P2 (ω) +Q2 (ω)		,
что после простых преобразований дает					~			Q(ω)
~	1			1	~			Q(ω)
A(ω) =	P2 (ω) +Q2 (ω)		=	A(ω) ,	φ (ω) = −arctg P(ω)				= −φ(ω) .
Таким образом, для логарифмических характеристик получаем
	~		1				~

20lg A(ω) = 20lg A(ω) = −20lg A(ω) , φ (ω) = −φ(ω) .

Это значит, что при переходе к «обратной» передаточной функции ЛАЧХ и ЛФЧХ просто меняют знак.

Рассмотрим, например, звено с передаточной функцией W (s) = Ts +1. Оно является «об-

ратным» для апериодического звена, поэтому можно сразу нарисовать его ЛАФЧХ так, как на рисунке.

ω)		20 дБ/дек
ω)
(
m
L	0
	0
	ω	= 1
	c	T
90		T
90

φ(ω)

45

0

~	Для		звена чистого запаздывания «обратным» будет звено с	передаточной функцией
		sτ	, его амплитудная частотная характеристика равна 1 на всех частотах, а фазовая вы-
Wτ (s) = e
числяется как φ(ω) = ωτ . Положительный сдвиг фазы говорит о том,				что сигнал на выходе по-

41

является раньше, чем на входе. Такое звено называется звеном упреждения или предсказания.

Понятно, что в реальных системах нельзя «заглянуть в будущее», поэтому звено упреждения

физически нереализуемо. Тем не менее, модели некоторых практических задач могут включать

звенья упреждения. Например, известны «автопилоты» для автомобилей, которые используют

данные о рельефе дороги на некотором расстоянии впереди машины (будущие значения!), по-

лученные с помощью лазерного измерителя.

4.8.

ЛАФЧХ сложных звеньев

Для построения ЛАФЧХ звеньев со сложными передаточными функциями их числитель и

знаменатель разбивают на сомножители первого и второго порядков. Фактически сложное зве-

но при этом представляется как последовательное соединение простых звеньев, для которых

известны все характеристики. При этом асимптотическую ЛАЧХ можно легко построить даже

вручную.

Рассмотрим звено второго порядка с передаточной функцией

W

(s) =

a1s +a0

=

k(T2s −1)

.

b s2

+b s +b

(T s +1)(T s +1)

2

1

0

1

3

Здесь

Ti(i =1,...3)

– положительные

постоянные

времени.

Для

определенности примем

T1 > T2

> T3 .

Представим передаточную функцию в виде произведения

W (s) = k

1

(T s

−1)

1 .

(43)

T1s +1

2

T3s +1

Таким образом, это звено представляет собой последовательное соединение усилителя, двух

апериодических

звеньев и

усилителя

с

дифференцированием

(его

передаточная

функция

T2s −1 ).

Как следует из свойств ЛАФЧХ (37)–

(38), для построения ЛАЧХ системы с пере-

даточной функцией W (s) (43)

доста-

20lg k

− 20 дБ/дек

точно сложить ЛАЧХ всех ее сомножите-

лей.

(ω)

− 20 дБ/дек

На низких частотах, до первой сопря-

m

ωc1 = 1 , «работает» только

гающей частоты

L

T1

усилитель, и асимптотическая ЛАЧХ идет

на постоянном

уровне 20lg k . Начиная

с

частоты

ωc1

= 1

первое

апериодическое

= 1

T1

ω

c1

ω

c2

ω

c3

звено дает наклон ЛАЧХ

−20 дБ/дек,

а с

T1

T2

T3

частоты ω

c2

= 1

звено T s −1 восстанавливает нулевой наклон. На частотах выше ω

c3

= 1

T2

2

T3

включается второе (быстродействующее) апериодическое звено, которое определяет наклон

−20 дБ/дек оставшейся высокочастотной части ЛАЧХ.

Для построения фазовой характеристики желательно использовать компьютерные про-

граммы. Однако принцип остается тот же, что и для ЛАЧХ: полная фазовая характеристика

равна сумме фазовых характеристик отдельных звеньев, входящих в произведение.

42

5. Структурные схемы

5.1. Условные обозначения

Систему управления можно разбить на блоки, имеющие вход и выход (объект, регулятор, привод, измерительная система). Для того, чтобы показать взаимосвязи этих блоков, используют структурные схемы. На них каждый элемент изображается в виде прямоугольника, внутри которого записывается его передаточная функция. Вход и выход блока показывают соответственно «входящей» и «выходящей» стрелками.

x(t)		y(t)	X (s)		Y (s)
	W ( p)	y(t)	X (s)	W (s)	Y (s)
	W ( p)			W (s)

Строго говоря, есть две формы записи:

•операторная запись, когда передаточная функция записывается как функция оператора дифференцирования p , входы и выходы блоков – функции времени;

•запись в изображениях, когда передаточная функция записывается как функция комплексной переменной s, а для обозначения входов и выходов используют их изображе-

ния по Лапласу.

Однако суть дела от этого не меняется. Поэтому дальше при обозначении сигналов мы, несколько жертвуя строгостью ради простоты записи, будем обозначать сигналы строчными буквами, не указывая независимую переменную (t или s), а в записи передаточных функций будем использовать переменную s, как принято в литературе.

Для суммирующих элементов используют специальное обозначение – круг, разбитый на сектора. Если сектор залит черным цветом, поступающий в него сигнал вычитается, а не складывается с другими. Разветвление сигнала обозначается точкой, как и радиотехнике.

x2

x1	x1 + x2 + x3	x1	x1 − x2	x	x
	x3		x2		x
	x3		x2

На следующем рисунке показана типичная схема системы управления кораблем по курсу. Здесь вход x – заданный курс, выход y – фактический курс. Сигналы e , u и δ обозначают соответ-

ственно ошибку регулирования, сигнал управления и управляющее воздействие привода на объект (угол поворота руля). Сигнал g – это возмущение (влияние ветра и морского волнения),

а m – шум измерений.			привод	g объект
x +		регулятор	привод	g объект
x +	e	u	δ	y
–		C(s)	R0(s)	P(s)
–

H(s)

измерительная система m

В этой системе кроме «большого» контура управления (регулятор – привод – объект) есть еще внутренний контур привода (звено с передаточной функцией R0 (s) охвачено отрицательной

обратной связью).

43

5.2. Правила преобразования

Многие инженерные (классические) методы исследования систем управления основаны на использовании передаточных функций. Для построения передаточной функции системы между заданными входом и выходом нужно преобразовать структурную схему так, чтобы в конечном счете остался один блок с известной передаточной функцией. Для этого используют

структурные преобразования.

Легко показать, что передаточные функции параллельного и последовательного соединений равны соответственно сумме и произведению исходных передаточных функций:

		y1
	W1(s)
x		y	x		y


				W1(s)+W2(s)

W2(s) y2

x		y1		y	x		y
						W1(s)W2(s)
	W1(s)		W1(s)
	W1(s)		W1(s)

Действительно, в изображениях по Лапласу для параллельного соединения получаем

Y(s) = Y1 (s) +Y2 (s) =W1 (s) X (s) +W2 (s) X (s) = [W1 (s) +W2 (s)]X (s) ,

адля последовательного

Y (s) =W2 (s)Y1 (s) =W1 (s)W2 (s) X (s) .

Для контура с отрицательной обратной связью имеем

x

e

y

W1(s)

x

W1 (s)

f

1+W1 (s) W2 (s)

W2(s)

Для доказательства заметим, что Y (s) =W1 (s) E(s) , а изображение ошибки равно

Поэтому

E(s) = X (s) − F (s) = X (s) −W2 (s)Y (s) .

Y (s) =W1 (s)[X (s) −W2 (s)Y (s)].

Перенося X (s) в левую часть, получаем

Y (s)[1 +W1(s) W2 (s)]=W1(s) X (s)

Y (s) =

W1

(s)

X (s) .

1

+W1(s) W2 (s)

Если обратная связь – положительная (сигналы x и f

складываются), в знаменателе будет сто-

ять знак «минус»:

W1(s)

W (s) =

.

1 −W (s) W (s)

1

2

Звено можно переносить через сумматор как вперед, так и назад. Чтобы при этом передаточные функции не изменились, перед сумматором нужно поставить дополнительное звено:

						f

	f					W(s)
	f
x			y	x			y
x		W(s)	y	x	W(s)		y
		W(s)			W(s)

Обратите внимание, что передаточные функции от обоих входов к выходу на двух схемах одинаковые. Для следующей пары это условие тоже выполняется:

44

				f
		f
		f		1/W(s)
x		y				y
			x
	W(s)		x		W(s)
	W(s)				W(s)

Звено можно переносить также через точку разветвления, сохраняя все передаточные функции:

x

y1

x

y1

W(s)

y2

Эти две схемы тоже равносильны:

y2

W(s)

y1

x

y

x

W(s)

1

W(s)

y2

1/W(s)

5.3. Типовая одноконтурная система

Применим показанные выше приемы для вычисления передаточных функций рассмотренной выше системы. Здесь три входа (x, g и m), а в качестве выходов обычно рассматривают выход системы y, сигнал управления u и ошибку e. Таким образом, всего можно записать 9 передаточных функций, соединяющих все возможные пары вход-выход.

			привод	g
x +	e	u	δ	y
–		C(s)	R0(s)	P(s)
–

H(s)

m

Сначала найдем полную передаточную функцию привода (обведенного штриховой рамкой), используя формулу для контура с отрицательной обратной связью:

R(s) =

R0 (s)

.

1

+ R (s)

Получаем следующую схему:

0

g

x +

e

u

δ

y

C(s)

R (s)

P(s)

–

H(s)

m

Теперь найдем передаточные функции от входа x ко всем выходам. Для этого все остальные входы будем считать нулевыми и удалим со схемы. Кроме того, заменим последовательное соединение звеньев с передаточными функциями C(s) , R(s) и P(s) на одно звено:

45

Материал: Polyakov_Tu_Metoda

Смотрите также: