Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

H(s)

Для получения окончательного результата снова используем формулу для контура с отрицательной обратной связью:

Первая из этих схем дает передаточную функцию по управлению Wu (s) , а вторая – передаточную функцию по ошибке We (s) (здесь блок с передаточной функцией, равной единице, можно

было вообще не рисовать). Снова применяя формулу для контура с отрицательной обратной связью, получаем:

Используя этот подход, легко найти передаточные функции для других входов. Теперь вы вполне можете сделать это самостоятельно.

46

© К.Ю. Поляков, 2008

6. Анализ систем управления

6.1. Требования к управлению

Что мы хотим от управления? Это зависит, прежде всего, от решаемой задачи. В задаче стабилизации наиболее важны свойства установившегося режима. Для следящих систем в первую очередь нужно обеспечить высокое качество переходных процессов при изменении задающего сигнала (уставки).

Вцелом можно выделить четыре основных требования:

•точность – в установившемся режиме система должна поддерживать заданное значение выхода системы, причем ошибка (разница между заданным и фактическим значением) не должна превышать допустимую;

•устойчивость – система должна оставаться устойчивой на всех режимах, не должна идти «вразнос» (корабль не должен идти по кругу при смене курса);

•качество переходных процессов – при смене заданного значения система должна переходить в нужное состояние по возможности быстро и плавно;

•робастность – система должна сохранять устойчивость и приемлемое качество даже в том случае, если динамика объекта и свойства внешних возмущений немного отличаются от тех, что использовались при проектировании.

6.2. Процесс на выходе

Начнем с простого – покажем, как вычислить процесс на выходе системы с передаточной функцией W (s) при входном сигнале, для которого известно изображение по Лапласу X (s) .

При нулевых начальных условиях изображение выхода равно Y (s) =W (s) X (s) . Предположим, что W (s) и X (s) – рациональные функции, то есть их можно представить в виде отно-

Для простоты будем считать, что полиномы ∆(s) и dX (s) имеют только простые вещественные корни, так что

Далее мы предположим, что произведение W (s) X (s) несократимо. В этом случае все числа ai и bj не равны нулю.

Чтобы найти выход y(t) , нужно вычислить обратное преобразование Лапласа для Y (s) . По таблицам (см., например, формулы (25)) находим

7 Более сложные случаи (комплексно-сопряженные и кратные полюса) рассматриваются аналогично.

47

© К.Ю. Поляков, 2008

(равной 1) при λ = 0 и уходит в бесконечность при λ > 0 . Поэтому выражение (44) позволяет сделать следующие выводы:

•сигнал на выходе системы зависит как от свойств передаточной функции системы, так и от входного сигнала;

•для того, чтобы переходный процесс затухал (функция y(t) стремилась к нулю), все числа αi (i =1,...N ) и βi (i =1,...M ) должны быть отрицательными (иметь отрицательные вещественные части);

•если один из полюсов W (s) или X (s) равен нулю, y(t) может иметь постоянную (незатухающую) составляющую;

•если хотя бы один из полюсов W (s) или X (s) больше нуля (имеет положительную ве-

щественную часть), выход системы неограниченно растет.

Еще раз отметим, что мы предполагали несократимость произведения W (s) X (s) , иначе некоторые коэффициенты ai и/или bj могут оказаться нулевыми и соответствующие экспоненты

«исчезают» из формулы (44). Тогда, например, может оказаться, что выход не «уходит в бесконечность» даже если W (s) или X (s) имеет полюс с положительной вещественной частью (и он

сократился в произведении W (s) X (s) ).

Как следует из (44), часть показателей экспонент (числа αi (i =1,...N ) ) полностью определяются свойствами системы – это корни полинома ∆(s) . Если среди них есть числа с положи-

тельной вещественной частью, сигнал выхода будет неограниченно возрастать при любом входе, для которого произведение W (s) X (s) несократимо. В этом случае говорят, что система не-

устойчива, а соответствующие полюса также называют неустойчивыми. Полином ∆(s) называ-

ется характеристическим полиномом, так как расположение его корней определяет устойчивость (или неустойчивость) системы (подробнее см. разд. 6.4).

6.3. Точность

Точность системы обычно оценивается для одного из эталонных входных сигналов. Это может быть, например, единичный скачок

Точность системы в установившемся режиме определяется ошибкой e(t) или ее изображением E(s) . Для ее исследования используют передаточную функцию по ошибке We (s) , которая свя-

зывает изображения ошибки и входного сигнала:

E(s) =We (s) X (s) .

Рассмотрим контур управления, состоящий из регулятора и объекта:

48

© К.Ю. Поляков, 2008

Представим передаточные функции C(s) и P(s) , а также изображение входа X (s) в виде отношения полиномов

где ∆(s) = dC (s) d(s) + nC (s) n(s) – характеристический полином замкнутой системы.

Рассмотрим реакцию системы на единичный ступенчатый входной сигнал, изображение которого равно X (s) =1/ s . Как следует из разд. 6.2, сигнал ошибки определяется полюсами пе-

редаточной функции We (s) (то есть корнями характеристического полинома ∆(s) ) и полюсами изображения X (s) . На практике все полюса We (s) должны иметь отрицательные вещественные части, иначе система будет неустойчивой (подробнее см. в разд. 6.4). Поэтому нулевых полю-

Здесь изображение Y0 (s) имеет полюса только с отрицательной вещественной частью, а постоянная b рассчитывается по формуле разложения на простые дроби:

Как следует из разд. 6.2, после затухания всех экспонент с отрицательными показателями полу-

чим lim e(t) = b .

t→∞

Заметим, что для того, чтобы сделать нулевой статическую ошибку, достаточно обеспечить dC (0) = 0 (то есть регулятор должен содержать интегратор) или d(0) = 0 (объект содержит

интегратор).

Этот результат можно обобщить для любых незатухающих входных сигналов, изображения которых имеют полюса на мнимой оси (в точке s = 0 или в точках s = ± jω). Для того, что-

бы ошибка стремилась к нулю при t → ∞ необходимо, чтобы эти полюса сократились в произведении

dC (s) d(s) , то есть, внутри системы есть модель входного сигнала. Этот принцип называется

принципом внутренней модели.

Например, для точного отслеживания ступенчатого сигнала нужно, чтобы объект или регулятор содержали интегрирующее звено (с передаточной функцией 1/ s ). Тогда произведение dC (s) d(s) имеет сомножитель s , и полюс X (s) в точке s = 0 сократится в произведении

We (s) X (s) . Таким образом, если передаточная функция разомкнутого контура C(s)P(s) со-

держит множитель s в знаменателе, обеспечивается нулевая ошибка слежения за постоянным сигналом (нулевая статическая ошибка). Поэтому такую систему называют астатической.

49

© К.Ю. Поляков, 2008

Для отслеживания линейно возрастающего сигнала в контуре должно быть уже два интегратора (нужно сократить двойной полюс X (s) в точке s = 0 ). Такая система обладает аста-

тизмом второго порядка. В общем случае система, в которой

C(s)P(s) = s1ν G(s) ,

где ν > 0 – натуральное число и функция G(s) не имеет нулей и полюсов в точке s = 0 , назы-

вается астатической системой ν -ого порядка. Такая система в установившемся режиме без ошибки отслеживает сигнал вида

x(t) = x0 + x1t + x2t2 +... + xν−1tν−1

при любых значениях коэффициентов xi (i = 0,...ν −1) .

Казалось бы, для повышения точности можно поставить много интеграторов, и все проблемы будут решены. Но при этом нужно учесть, что мы говорили только о точности в установившемся режиме, не затрагивая переходные процессы (переход с режима на режим) и вопросы устойчивости. Добавление каждого нового интегратора ухудшает переходные процессы, осложняет стабилизацию системы, снижает быстродействие. Например, двойным интегратором в принципе невозможно управлять с помощью простого регулятора-усилителя (так называемого пропорционального регулятора или П-регулятора). Кроме того, если разомкнутая система включает два интегратора и более, для сигнала ошибки e(t) справедливо ограничение

∞∫e(t) dt = 0 .

0

На вопрос «ну и что?» можно ответить так: поскольку интеграл от ошибки равен нулю, часть времени ошибка должна быть положительной, а часть – отрицательной. Поэтому при любом управлении не удастся получить монотонный переходный процесс (когда сигнал выхода подходит к заданному значению «с одной стороны», как у апериодического звена).

Для стохастической системы, в которой все процессы имеют случайный характер, точность оценивается с помощью математического ожидания и дисперсии ошибки. Но эти вопросы выходят за рамки пособия.

6.4.Устойчивость

6.4.1.Что такое устойчивость?

«Бытовое» понятие устойчивости известно нам с детства. Например, табуретка с двумя ножками неустойчива, она упадет при малейшем дуновении ветра, а с тремя – устойчива. Всем знакомый пример неустойчивой системы – близко расположенные микрофон и колонки, которые начинают «свистеть». Неустойчивость может привести к трагическим последствиям. Достаточно вспомнить аварии самолетов, попавших в грозовой фронт или в штопор, взрыв ядерного реактора на Чернобыльской атомной станции в 1986 г.

Термин «устойчивость» используется в численных методах, механике, экономике, социологии, психологии. Во всех этих науках имеют в виду, что устойчивая система возвращается в состояние равновесия, если какая-то сила выведет ее из этого состояния. Шарик на рисунке находится в устойчивом равновесии в положении А – если немного сдвинуть его с места, он скатится обратно в ямку.

БВ

А

50