Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

Очевидно, что корни этого полинома – это α1 и α2 .

Если все корни характеристического полинома устойчивы (имеют отрицательные вещественные части, расположены в левой полуплоскости), то система асимптотически устойчива. Если есть неустойчивые корни (с положительной вещественной частью), то система неустойчива. Если характеристический полином имеет один нулевой корень или пару комплексносопряженных корней на мнимой оси, система нейтрально устойчива11.

Внутренняя устойчивость – более сильное требование, чем техническая устойчивость, потому что определяет ограниченность не только выхода, но и всех внутренних переменных при любых начальных условиях. Рассмотрим, например, такую модель в пространстве состояний

чиво, поэтому система внутренне неустойчива.

Теперь найдем передаточную функцию (см. раздел 3.7):

Ее знаменатель (характеристический полином) ∆(s) = s +1 устойчив, так как имеет единствен-

ный устойчивый корень −1, хотя система внутренне неустойчива! Обратите внимание, что система имеет порядок 2, а знаменатель передаточной функции – порядок 1. В данном случае это означает, что некоторые внутренние движения системы не наблюдаемы на выходе, не влияют на него.

Вспомним, что передаточная функция описывает свойства системы только при нулевых начальных условиях. Поэтому выводы об устойчивости внутренних процессов в системе, сделанные по передаточной функции, могут оказаться неверными, если степень ее знаменателя меньше порядка исходного дифференциального уравнения.

6.4.8. Устойчивость линеаризованных систем

Устойчивость нелинейной системы можно во многих случаях оценивать с помощью линеаризованной системы. Для этого применяют теоремы Ляпунова, которые связывают корни характеристического полинома ∆(s) линейной модели и устойчивость нелинейной системы в

окрестности точки линеаризации:

1)если все корни имеют отрицательные вещественные части, то нелинейная система также устойчива;

2)если есть хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то нелинейная система неустойчива;

3)если нет корней с положительной вещественной частью, но есть хотя бы один корень с нулевой вещественной частью, то об устойчивости нелинейной системы ничего нельзя

сказать без дополнительного исследования.

Таким образом, для исследования устойчивости положения равновесия нелинейной системы нужно линеаризовать модель в окрестности этой точки и найти корни характеристического полинома.

11 Если есть несколько нулевых корней (или несколько одинаковых пар мнимых корней) система может быть как нейтрально устойчива, так и неустойчива.

56

© К.Ю. Поляков, 2008

6.5. Критерии устойчивости

Итак, для исследования устойчивости линейной системы достаточно найти корни ее характеристического полинома. Если все корни имеют отрицательные вещественные части (находятся в левой полуплоскости, слева от мнимой оси), такой полином называется устойчивым, потому что соответствующая линейная система устойчива. Полиномы, имеющие хотя бы один корень с положительной вещественной частью (в правой полуплоскости) называются неустой-

чивыми.

На ранней стадии развития теории управления актуальной была задача определения устойчивости полинома без вычисления его корней. Конечно, сейчас легко найти корни характеристического полинома с помощью компьютерных программ, однако такой подход дает нам только количественные (а не качественные) результаты и не позволяет исследовать устойчивость теоретически, например, определять границы областей устойчивости.

6.5.1. Критерий Гурвица

Существует несколько алгоритмов, позволяющих проверить устойчивость полинома

∆(s) = a0sn +a1sn−1 +... + an−1s +an ,

не вычисляя его корни. Прежде всего, для устойчивости все коэффициенты ai (i = 0,..., n) долж-

ны быть одного знака, обычно считают, что они положительные. Это необходимое условие устойчивости полинома. Однако при n > 2 это условие недостаточно, если полином имеет ком- плексно-сопряженные корни. Поэтому были разработаны необходимые и достаточные условия (критерии) устойчивости полиномов.

Один из самых известных критериев – критерий Гурвица – использует матрицу Hn размером n ×n , составленную из коэффициентов полинома ∆(s) следующим образом:

•первая строка содержит коэффициенты a1, a3 , a5 ,... (все с нечетными номерами), оставшиеся элементы заполняются нулями;

•вторая строка содержит коэффициенты a0 , a2 , a4 ,... (все с четными номерами);

•третья и четвертая строка получаются сдвигом первой и второй строк на 1 позицию вправо, и т.д.

Например, для полинома пятого порядка ( n = 5 ) эта матрица имеет вид

Критерий Гурвица. Все корни полинома ∆(s) имеют отрицательные вещественные части тогда и только тогда, когда все n главных миноров матрицы Hn (определителей Гурвица) положительны.

Вспомним, что для устойчивости полинома необходимо, чтобы все его коэффициенты были положительными. Поэтому достаточно проверить только n −1 первых определителей Гурвица. Например, для n = 5 речь идет об определителях

57

© К.Ю. Поляков, 2008

Раскрывая определитель матрицы H5 по последнему столбцу, получаем D5 = det H5 = a5 D4 . Так как a5 > 0 , из условия D4 > 0 сразу следует D5 > 0 .

Таким образом, условия устойчивости сводятся к нескольким неравенствам. Это очень удобно для систем низкого порядка. Например, для n = 2 необходимое и достаточное условие

С помощью критерия Гурвица можно определить, при каких значениях K замкнутая система (с отрицательной обратной связью) устойчива. Передаточная функция замкнутой системы равна

Таким образом, система устойчива при 0 < K < 1 + 1 .

T1 T2

Теперь предположим, что модель системы задана в пространстве состояний: x&(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Как проверить ее устойчивость? Используя результаты раздела 3.7, построим передаточную функцию

W (s) = C (sI − A)−1 B + D .

Характеристический полином этой системы (знаменатель W (s) ), определяется формулой

∆(s) = det(sI − A) ,

где det обозначает определитель квадратной матрицы. Чтобы определить, устойчива ли система, нужно применить к этому полиному критерий Гурвица.

58

© К.Ю. Поляков, 2008

6.5.2. Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы, построив частотную характеристику разомкнутой системы. Пусть L(s) – передаточная функция разомк-

нутой системы, а L( jω) – ее частотная характеристика.

Для простоты сначала будем считать, что разомкнутая система устойчива и не содержит интегрирующих звеньев, то есть L(0) = K ≠ ∞, где K – некоторое число.

Для каждой частоты ω значение L( jω) – это комплексное число, которое можно изобра-

зить точкой на комплексной плоскости. При изменении частоты от 0 до ∞ из этих точек складывается годограф Найквиста – некоторая кривая, которая начинается в точке (K; 0) на веще-

ственной оси и заканчивается в начале координат (если L(s) – строго правильная функция, то

есть степень ее числителя меньше степени знаменателя). Можно доказать, что система устойчива тогда и только тогда, когда годограф L( jω) не охватывает точку (−1; 0) . На рисунке слева

годограф не охватывает эту точку (и замкнутая система устойчива), а на рисунке справа – охватывает (система неустойчива).

Выражение «система находится на границе устойчивости» означает, что частотная характеристика проходит через точку (−1; 0) . В этом случае для некоторой частоты ω мы имеем

A(ω) =1 и φ(ω) = −180°. Это говорит о том, что после прохождения контура величина сигнала

меняет знак, сохраняя абсолютную величину (энергию), то есть устанавливаются незатухающие колебания.

Im

A(ω) =1 φ(ω) = −180°

K Re

−1

Частота ωc , для которой A(ωc ) =1, называется частотой среза. Для устойчивой системы

значение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180° ; в этом случае годограф не охватит точку (−1; 0) .

59

конечность в этой точке), ситуация усложняется. Теперь годограф начинается не на вещественной оси, а приходит из бесконечности. Тогда в контур необходимо включить не только полученную кривую, но и часть окружности бесконечного радиуса от вещественной оси до годографа в порядке обхода по часовой стрелке. Если функция L(s) имеет k полюсов в точке s = 0 ,

нужно добавить k секторов по 90°. На рисунках показаны годографы Найквиста устойчивых

Если в системе есть запаздывание на время τ , на любой частоте появляется дополнительный сдвиг фазы на −τω (без изменения амплитуды). Это значит, что каждая точка годографа поворачивается на некоторый угол против часовой стрелки.

Im

На рисунке синяя линия – частотная характеристика системы без запаздывания, а красная – аналогичная характеристика для системы с запаздыванием. Видно, что запаздывание привело к неустойчивости системы (годограф охватил критическую точку (−1; 0) ). Таким образом,

система может потерять устойчивость из-за «медленного» датчика. Можно говорить о том, что

запаздывание всегда ухудшает устойчивость системы, и этот факт важно учитывать при про-

ектировании.

Если L(s) имеет полюса с положительной вещественной частью (разомкнутая система неустойчива), нужно считать, сколько раз годограф пересекает ось абсцисс левее точки (−1; 0) .

Причем переходы «сверху вниз» считаются положительными, а переходы «снизу вверх» - отрицательными.

60