Материал: Polyakov_Tu_Metoda
© К.Ю. Поляков, 2008
Для того, чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы разница между числом положительных и отрицательных переходов была равна l/ 2 , где l – число неустойчивых полюсов функции L(s) . Начальная точка на оси абсцисс левее точки (−1; 0) счи-
тается за половину перехода. На рисунке показаны годографы устойчивых систем для случая l =1.
|
1 |
Im |
|
1 |
|
Im |
+ |
|
− |
+1 |
|
||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
Re |
|
|
−1 |
Re |
K |
|
|
|
|
K |
|
Частотная характеристика начинается на вещественной оси левее точки (−1; 0) . На рисун-
ке слева годограф сначала идет вниз (половина положительного перехода) и больше нигде не пересекает ось абсцисс левее точки (−1; 0) , поэтому разница переходов равна 1/ 2 = l/ 2 и замк-
нутая система устойчива.
На правом рисунке частотная характеристика сначала идет вверх (считаем это за половину отрицательного перехода), а затем переходит в нижнюю полуплоскость (положительный переход). Разница снова равна 1/ 2 = l/ 2 и система устойчива.
6.5.3. Критерий Найквиста для ЛАФЧХ
Критерий Найквиста часто используется для логарифмических частотных характеристик. Сначала предположим, что передаточная функция разомкнутой системы не имеет неустойчивых полюсов. Как мы уже знаем, для анализа устойчивости наиболее важно поведение частотной характеристики в районе частоты среза ωc , где A(ωc ) =1 и Lm (ωc ) = 20lg A(ωc ) = 0 . Для
устойчивой системы значение фазы на частоте среза должно быть больше, чем −180°. На графике представлены три фазовых характеристики устойчивых систем. Кривая 1 соответствует случаю, когда в разомкнутой системе нет интеграторов (и фазовая характеристика начинается с нуля), кривая 2 – системе с одним интегратором, а кривая 3 – c двумя.
Lm
0 ωc
ω
φ |
|
1 |
|
|
|
0 |
2 |
ω |
|
||
−90° |
|
|
|
|
−180°
3
Если разомкнутая система имеет неустойчивые звенья, нужно считать переходы фазовой характеристики через линию φ(ω) = −180° левее частоты среза. Здесь положительным считает-
ся переход снизу вверх, а отрицательным – сверху вниз. Если фазовая характеристика начинается на линии φ(ω) = −180° (на нулевой частоте), это считается за половину перехода. Для ус-
тойчивой системы разность между числом положительных и отрицательных переходов должна быть равна l/ 2 , где l – число неустойчивых полюсов передаточной функции L(s) .
61
© К.Ю. Поляков, 2008
6.6. Переходный процесс
Хорошо спроектированная система должна не только быть устойчивой и поддерживать заданную точность в установившемся режиме, но и плавно переходить на новый режим при изменении заданного значения выхода (уставки). Качество переходных процессов обычно оценивается по переходной характеристике (реакции системы на единичный ступенчатый входной сигнал).
y |
|
y |
ymax |
2∆ |
2∆ |
y∞ |
|
y∞ |
0 |
tп |
t |
0 |
tп |
t |
В первую очередь нас интересует, насколько быстро заканчивается переход на другой ре- |
|||||
жим (время переходного процесса tп ). |
Оно определяется как время, через которое регулируе- |
||||
мая величина «входит в коридор» шириной 2∆ вокруг установившегося значения y∞ . Это значит, что при t > tп значение выхода отличается от установившегося не более, чем на ∆. Обычно
величина ∆ задается в процентах от установившегося значения, чаще всего 2% или 5%. Заметим, что для апериодического звена с постоянной времени T время переходного процесса равно tп = 3T (с точностью 5%).
Другая важная характеристика – перерегулирование σ – показывает, на сколько процентов максимальное значение выхода ymax превышает установившееся значение12 y∞ :
σ = ymax − y∞ 100% . y∞
Иногда удается обеспечить нулевое перерегулирование (апериодический переходный процесс, как у апериодического звена). Нужно помнить, что увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению перерегулирования.
Вы уже знаете, что устойчивость линейной системы определяется полюсами ее передаточной функции W (s) , однако на переходные процесс влияют и нули, причем в некоторых слу-
чаях очень существенно. Для примера рассмотрим передаточную функцию
W (s) = |
as +1 = a(s +1/ a) |
, |
||
|
(s +1)2 |
(s +1)2 |
|
|
где a может принимать как положительные, так и |
y |
a = 5 |
||
отрицательные значения. Такая передаточная |
|
|||
функция имеет нуль в точке s = −1/ a . Нули, на- |
|
a = 2 |
||
ходящиеся в левой полуплоскости (при a > 0 ) |
|
|
||
часто называют устойчивыми (по аналогии с по- |
|
|
||
люсами), а нули в правой полуплоскости (при |
|
|
||
a < 0 ) – неустойчивыми. Очевидно, что при a = 0 |
|
a = 0 |
||
мы получаем апериодическое звено второго по- |
0 |
|||
t |
||||
рядка. Теперь построим переходные характери- |
|
|||
стики этого звена при разных значениях a . Заме- |
|
a = −2 |
||
тим, что при любом a установившееся значение |
|
a = −5 |
||
выхода равно W (0) =1. |
|
|
||
12 Понятие «перерегулирование» обычно вводится для случая, когда установившееся значение выхода больше нуля, хотя, в принципе, оно может быть и отрицательным – тогда перерегулирование показывает, насколько «ниже» установившегося значения ушла переходная функция в точке минимума.
62
© К.Ю. Поляков, 2008
По графикам видно, что при нулевом значении a переходный процесс – апериодический. При a > 0 (устойчивый нуль) наблюдается перерегулирование, причем оно тем больше, чем больше модуль a. При отрицательных значениях a в переходном процессе есть недорегулирование. Это значит, что в первый момент времени регулируемая переменная начинает изменяться в сторону, противоположную заданному значению.
6.7. Частотные оценки качества
Качество системы можно оценивать не только во временнóй области (переходный процесс во времени), но и в частотной (по частотной характеристике). Из частотных оценок наиболее важны запасы устойчивости. Дело в том, что поведение реального объекта всегда несколько отличается от принятой модели, более того, динамика может меняться во времени, например, когда корабль расходует топливо в ходе рейса. Поэтому недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно, чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта и регулятора в сравнении с расчетными, то есть, обладала запасами устойчивости.
Обычно арссматривают запасы устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде gm – это дополнительное усиление контура, которое необходимо, чтобы вы-
вести систему на границу области устойчивости. Эта величина измеряется в децибелах. Im
Ag
−1 |
|
|
K Re |
φm |
|
|
|
ωc |
|
|
|
Запас по амплитуде вычисляется по формуле g |
m |
= 20lg |
1 , где A <1 – значение амплитудной |
|
|
g |
|
|
|
|
Ag |
характеристики на частоте ωg , где фазовая характеристика равна −180°. В практических зада-
чах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.
Запас устойчивости по фазе φm – это дополнительный сдвиг фазы («поворот» частотной
характеристики против часовой стрелки), который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза ωc , где A(ωc ) =1. Запас по фазе
должен быть не менее 30°. |
|
Im |
|
Если в системе есть запаздывание на время τ , каждая |
|
|
Re |
точка годографа частотной характеристики дополнительно |
−1 |
K |
поворачивается против часовой стрелки на угол, равный τω 
для частоты ω . Поэтому запасы устойчивости (как по амплитуде, так и по фазе) уменьшаются. На рисунке синяя линия соответствует системе без запаздывания, а красная – той же системе с запаздыванием. Видно, что во втором случае запасы устойчивости существенно меньше.
63
© К.Ю. Поляков, 2008
Запасы устойчивости легко определяются по логарифмических частотным характеристикам:
Lm |
|
|
ωc |
ωg |
gm |
0 |
|
ω
φ
0
ω
−90°
φm
−180° 
Заметим, что запас по амплитуде может быть равен бесконечности, если фазовая характеристика не пересекает линию −180°.
К сожалению, в некоторых случаях классические запасы устойчивости (по амплитуде и фазе) дают не совсем верное представление о том, насколько система действительно близка к границе устойчивости. Поэтому в качестве единой характеристики иногда используют кратчайшее расстояние γ от годографа до точки (−1; 0) .
|
Im |
−1 |
K Re |
γ
Еще одна аналогичная характеристика называется показателем колебательности M. Она определяется по амплитудной частотной характеристике замкнутой системы как отношение ее максимума к значению на нулевой частоте:
A(ω)
Amax |
M = |
Amax |
A |
|
A |
0 |
|
0 |
ω
Для каждого значения M можно нарисовать «запретную области», в которую не должна заходить частотная характеристика разомкнутой системы, если ее показатель колебательности
должен быть меньше М. Эта область имеет форму круга радиуса R = |
M |
|
, центр которого |
|||||||||
M 2 −1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
M |
2 |
|
|
|
|
|
||||
находится в точке |
|
− |
; 0 |
|
. На рисунке показаны границы запретных областей для раз- |
|||||||
|
||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||
|
M |
−1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
личных значений M.
64
© К.Ю. Поляков, 2008
M =1,0
M =1,1 |
Im |
M =1,5
−1 |
K Re |
M = 3
При M =1 окружность имеет бесконечный радиус (превращается в вертикальную линию) и проходит через точку (−0,5; 0) . При увеличении M радиус окружности уменьшается.
6.8. Корневые оценки качества
Многие свойства системы можно предсказать, посмотрев на расположение корней характеристического полинома ∆(s) на комплексной плоскости. Прежде всего, все корни ∆(s) для
устойчивой системы должны находиться в левой полуплоскости, то есть слева от мнимой оси. Быстродействие системы определяется степенью устойчивости η – так называется расстояние
мнимой оси до ближайшего корня (или пары комплексно-сопряженных корней).
На рисунке точками отмечены положения корней характеристического полинома. Он имеет два вещественных корня (обозначенных номерами 1 и 4) и пару комплексно сопряженных корней (2 и 3). Степенно устойчивости определяется вещественным корнем 1, потому что он находится ближе всех к мнимой оси.
Im
2
4 |
1 |
Re |
3
η
Этот корень называется доминирующим, он определяет самые медленные движения в системе и время переходного процесса, которое может быть примерно рассчитано по формуле tп = η3 .
Корни 2, 3 и 4 соответствуют более быстрым движениям.
Обратите внимание, что степень устойчивости, несмотря на название, ничего не говорит о близости системы к границе устойчивости, она только характеризует быстродействие.
Параметр, определяющий скорость затухания колебаний в системе, называется колебательностью. Колебательность µ для пары комплексно-сопряженных корней α ± jβ вычисля-
ется как отношение мнимой и вещественной частей корня (по модулю):
µ = |
|
β |
|
. |
|
|
|||
|
|
α |
|
|
Чем больше эта величина, тем слабее затухают колебания, вызванные этими корнями, за 1 период колебаний.
Линии постоянной колебательности – это лучи, выходящие из начала координат. При проектировании систем обычно требуется обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень
65