Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

Можно показать (сделайте это самостоятельно), что любой регулятор второго порядка с интегратором может быть представлен в форме ПИД-регулятора:

7.3. Метод размещения полюсов

Один из простых методов синтеза регулятора – размещение полюсов передаточной функции замкнутой системы, которые во многом определяют ее динамику, например, быстродействие и степень затухания колебаний (см. разд. 6.8). Смысл в том, чтобы разместить эти полюса в заданных точках комплексной плоскости с помощью специально выбранного регулятора. Эта задача сводится к решению системы линейных уравнений.

Пусть передаточная функция объекта задана в виде отношения полиномов

где a0 , a1,b0 и b1 – неизвестные коэффициенты, которые нужно определить. Характеристиче-

ский полином замкнутой системы равен

∆(s) = n(s) nC (s) +d(s) dC (s) = (n1s + n0 )(a1s +a0 ) +(s2 +d1s + d0 )(b1s +b0 ) . = b1s3 +(n1a1 +d1b1 +b0 )s2 +(n0a1 + n1a0 + d0b1 + d1b0 )s +n0a0 +d0b0

Предположим, что мы хотим выбрать регулятор так, чтобы разместить корни полинома ∆(s) в заданных точках, то есть добиться выполнения равенства

∆(s) = s3 +δ2 s2 +δ1s +δ0 ,

где δi (i = 0,...,2) – заданные числа. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях s в последних двух равенствах, получаем

Конечно, квадратная матрица в этом выражении (она называется матрицей Сильвестра) должна быть обратима. Можно доказать, что она действительно обратима тогда и только тогда, когда полиномы n(s) и d(s) не имеют общих корней, то есть передаточная функция объекта

71

© К.Ю. Поляков, 2008

P(s) несократима. В противном случае общий корень этих полиномов неизбежно будет корнем характеристического полинома ∆(s) .

Кроме того, для того, чтобы количество неизвестных коэффициентов было равно числу уравнений, порядок регулятора нужно выбирать не меньше, чем N −1, где N – порядок модели объекта управления:

N = max{deg n(s), deg d(s)},

где deg обозначает степень полинома. Иначе полученное уравнение будет разрешимо только при специально выбранном полиноме ∆(s) .

Заметим, что при размещении полюсов мы никак не учитываем нули передаточной функции, которые также влияют на динамику системы.

7.4. Коррекция ЛАФЧХ

На протяжении многих лет самым популярным инженерным методом синтеза регуляторов был метод, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик (ЛАФЧХ). Он основан на двух свойствах ЛАФЧХ:

1)логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики для последовательного соединения двух блоков (например, регулятора и объекта управления) равны сумме ЛАЧХ и ЛФЧХ этих блоков;

2)если передаточная функция объекта не имеет неустойчивых нулей и полюсов (с положительной вещественной частью), то амплитудная частотная характеристика однозначно определяет фазовую; отсюда следует что можно свести выбор регулятора к изменению только амплитудной характеристики нужным образом.

Пусть G(s) = P(s) R(s) – передаточная функция объекта вместе с приводом, причем будет предполагать, что она не имеет неустойчивых нулей и полюсов (то есть, является минимально-

Таким образом, для решения задачи требуется ответить на два вопроса:

1)как выбрать желаемую ЛАЧХ LЖ ( jω) так, чтобы обеспечить устойчивость и требуемое качество замкнутой системы?

2)как получить передаточную функцию регулятора C(s) по его ЛАЧХ (51)?

Чтобы ответить на первый вопрос, вспомним типичные требования к системе управления:

•устойчивость;

•нулевая ошибка в установившемся режиме;

•быстрый и плавный (в идеале – монотонный) переходный процесс;

•подавление шумов;

•робастность (нечувствительность к ошибкам модели). Эти требования нужно связать с формой ЛАЧХ.

Постоянный сигнал можно рассматривать как предельный случай гармонического (синуса), только с нулевой частотой. Поэтому для обеспечения нулевой установившейся ошибки цепочка «регулятор-объект» должна иметь бесконечное усиление на нулевой частоте, то есть передаточная функция G(s) C(s) должна содержать интегратор (вспомните принцип внутренней

модели).

Обычно хочется, чтобы переходный процесс был монотонным, без перерегулирования. Такой процесс дает апериодическое звено. Легко проверить, что передаточная функция апериодического звена (слева) равна передаточной функции интегратора, охваченного единичной обратной связью (справа):

72

© К.Ю. Поляков, 2008

73

© К.Ю. Поляков, 2008

Таким образом, мы полностью построили желаемую ЛАЧХ, удовлетворяющую требованиям к системе. Вычитая из нее исходную ЛАЧХ (без коррекции, синяя линия), получим ЛАЧХ регулятора, которая показана красной линией на нижнем графике.

Остается перейти от ЛАЧХ регулятора к его передаточной функции. На низких частотах (ω <1/T0 ) ЛАЧХ регулятора имеет наклон –20 дБ/дек и проходит через точку (ωc ;0) , то есть

C(s) = ωsc C1 (s) ,

где C1 (s) не изменяет асимптотическую ЛАЧХ на частотах, меньших 1/T0 . На частоте ω0 =1/ T0 ЛАЧХ регулятора меняет наклон с –20 дБ/дек до нуля, то есть в числитель добавляется множитель T0s +1:

C(s) = ωc (T0ss +1) C2 (s) .

Здесь C2 (s) – регулятор, не влияющий на ЛАЧХ для частот, меньших ω1 . Наконец, на частоте ω1 наклон увеличивается с нуля до –20 дБ/дек. Для того, чтобы на этой частоте «загнуть» вниз

74

© К.Ю. Поляков, 2008

ние выхода равно 1).

Нужно отметить, что алгоритм коррекции ЛАЧХ существенно усложняется, если объект содержит неустойчивые или неминимально-фазовые звенья.

7.5. Комбинированное управление

Один из способов улучшить качество управление – изменить структуру системы, добавив в нее второй регулятор C2 (s) на входе:

Теперь

W (s) = C2 (s)C(s)R(s)P(s) . 1+C(s)R(s)P(s)

Регулятор C2 (s) не влияет на свойства контура управления (запасы устойчивости, подавление

возмущений, робастность), а влияет только на переходные процессы при изменении задающего воздействия. Поэтому сначала можно, не обращая внимание на переходные процессы, построить регулятор в контуре C(s) так, чтобы обеспечить нужный уровень подавления возмущений

и робастность, а затем сформировать нужные качества передаточной функции W (s) с помощью регулятора C2 (s) . Поскольку две передаточные функции можно изменять независимо друг от

друга, такая схема называется комбинированным управлением (или управлением с двумя степенями свободы).

W1 (s) . Частотная характеристика W1 ( jω) в реальных системах близка к нулю на высоких частотах, следовательно, регулятор C2 (s) должен иметь в этом частотном диапазоне огромное уси-

ление. Например, для W1 (s) = Ts1+1 получим C2 (s) = Ts +1, то есть регулятор содержит физиче-

ски нереализуемое дифференцирующее звено. Таким образом, точная инверсия (52) не может применяться в практических задачах. Обычно стараются приближенно обеспечить равенство (52) для тех частот, где важно точно отследить задающий сигнал.

Отметим, что существуют и другие схемы с двумя степенями свободы, но можно доказать, что все они эквивалентны, разница только в реализации.

7.6. Инвариантность

Если возмущение g можно как-то измерить, для улучшения качества системы иногда вводится третий регулятор (третья степень свободы):

75