Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

сматриваем объект в качестве «черного ящика». Подставив второе уравнение из системы (11) в третье, найдем i(t) и подставим в первое уравнение. Переходя к переменной θ(t) , получаем:

с выходом θ(t) . В сравнении с системой (11), все внутренние сигналы исходной модели ( e(t) и i(t) ) были исключены из уравнений. Поэтому уравнение (12) называется уравнением «вход-

выход».

Порядком модели называют порядок соответствующего дифференциального уравнения. В данном случае мы получили модель второго порядка.

В этом разделе на простом примере мы посмотрели, как на основе физических законов строятся математические модели объектов управления. Как правило, они представляют собой дифференциальные уравнения. В дальнейшем мы будем использовать готовые модели объектов управления, предполагая, что они были кем-то получены ранее (например, предоставлены заказчиком).

3.2. Модели в пространстве состояний

Для того, чтобы было легче исследовать модель объекта, желательно привести ее к некоторому стандартному виду, для которого уже есть готовые общие решения. Таким «стандартом» в теории управления считается система дифференциальных уравнений первого порядка,

которая называется нормальной формой Коши.

Рассмотрим снова модель электродвигателя, считая, что M H (t) = 0 (нагрузки нет). Вспомнив, что ω(t) =θ&(t) , можно записать (12) в виде системы

θ&(t) = ω(t)

ω&(t) = − kJ1kR2 ω(t) + Jk1R u(t)

Эта система дифференциальных уравнений первого порядка быть записана в матричной форме:

Значения θ(t) и ω(t) определяют состояние двигателя в момент времени t . Это значит, что зная их значения в некоторый момент времени t0 и входной сигнал u(t) при всех t ≥ t0

можно рассчитать поведение объекта для любого последующего момента. При этом предыдущие значения θ(t) , ω(t) и u(t) (при t < t0 ) не играют никакой роли. Поэтому θ(t) и ω(t) назы-

ваются переменными состояния, а вектор θ(t) – вектором состояния.

ω(t)

В теории управления принято обозначать вектор состояния через x(t) , вход объекта (сигнал управления) – через u(t) . Тогда модель (13) может быть записана в виде

стояния x(t) , поэтому она называется моделью вход-состояние.

21

© К.Ю. Поляков, 2008

Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t) :

x&(t) = A x(t) + B u(t)

(15)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала:

= [1 0] x(t) ,

так что C = [1 0] и D = 0 . Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].

С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.

Поскольку момент инерции J , сопротивление якоря R и коэффициенты k1 и k2 не зави-

сят от времени, матрицы A , B , C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени.

Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.

Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) при

t = 0 . Вспомним, что знание x(0) и входа u(t) при всех t > 0 дает возможность однозначно оп-

ределить дальнейшее поведение этого объекта.

Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x(t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – ма-

лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆t приближенно определяется формулой

x(∆t) ≈ x(0) + x&(0) ∆t = x(0) +[A x(0) + B u(0)] ∆t ,

то есть, его можно легко вычислить. Зная x(∆t) и сигнал управления u(∆t) , находим выход

системы в тот же момент

y(∆t) ≈ C x(∆t) + D u(∆t) .

Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x(2 ∆t) ≈ x(∆t) + x&(∆t) ∆t = x(∆t) +[A x(∆t) + B u(∆t)] ∆t ,

y(2 ∆t) ≈ C x(2 ∆t) + D u(2 ∆t) .

Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 . Конечно, точность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D , его (как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).

3.3. Переходная функция

Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:

0, t < 0

1(t) = ≥1, t 0

22

© К.Ю. Поляков, 2008

Реакция объекта на единичный скачок называется переходной функцией и обозначается h(t):

При этом предполагается, что объект в начальный момент находится в состоянии покоя, то есть, имеет нулевые начальные условия. Это значит, что все его переменные состояния равны нулю и внутренняя энергия также нулевая.

Если начальные условия ненулевые, то для построения сигнала выхода при любом входе нужно использовать дифференциальные уравнения объекта или модель в пространстве состояний. Это значит, что переходная характеристика дает меньше информации, чем исходные урав-

где k – безразмерный коэффициент, а T – некоторая постоянная, которая имеет размерность времени (измеряется в секундах). Найдем переходную характеристику этого звена. Решая уравнение (16) при x(t) =1 ( t > 0 ), получаем

где постоянная C1 должна определяться из начальных условий. Поскольку нас интересует пе-

y

T = 0,5 c

k

T =1 c

Видно, что при увеличении T выход y медленнее достигает установившегося значения, равно-

го k , то есть постоянная времени характеризует инерционность звена (16). Чем больше постоянная времени, чем медленнее реагирует объект на управление и тем больше усилий нужно для того, чтобы перевести его в новое состояние.

Заметим, что ступенчатый сигнал легко получить на практике, поэтому переходную характеристику можно снять экспериментально.

23

© К.Ю. Поляков, 2008

3.4. Импульсная характеристика (весовая функция)

В качестве тестового сигнала можно, в принципе, использовать любой сигнал. Например, можно изучать реакцию системы на прямоугольный импульс. Вопрос в том, чтобы определить некоторый стандартный вид этого импульса. На рисунках а)-в) показаны три импульса, имеющих одинаковые площади. Для простоты будем считать, что эта площадь равна единице.

1

δ(t)

Что будет, если мы будем уменьшать ширину импульса, сохраняя его площадь? Очевидно, что высота импульса будет расти и в пределе (когда ширина стремится к нулю) станет бесконечной. Таким образом, мы получили еще один классический тестовый сигнал – единичный импульс или дельта-функцию Дирака δ(t) . Это идеальный (невозможный в реальной жизни)

сигнал, который равен нулю во всех точках, кроме t = 0 , где он уходит к бесконечность, причем его площадь (интеграл по всей оси времени) равен единице:

Поскольку бесконечный импульс невозможно нарисовать, на графике он изображается стрелкой, высота которой равна единице (см. рисунок г).

Иногда определяют дельта-функцию как производную от единичного ступенчатого сигнала 1(t) . Действительно, эта производная равна нулю при всех значениях t , кроме нуля, где она

обращается в бесконечность.

Реакция системы на единичный импульс (дельта-функцию) называется импульсной ха-

рактеристикой и обозначается w(t):

Импульсная характеристика, так же, как и переходная характеристика, определяется при нулевых начальных условиях, то есть, объект должен находиться в состоянии покоя.

Рассматривая дельта-функцию как предельный случай прямоугольного сигнала единичной площади, можно найти связь между переходной функцией и импульсной характеристикой.

Пусть ширина прямоугольного импульса равна ε , а высота – 1/ ε . Такой импульс можно представить в виде разности двух ступенчатых сигналов

x(t) = ε1 [1(t) −1(t −ε)] ,

где 1(t −ε) – это единичный ступенчатый сигнал, который приходит в момент t = ε , то есть, смещен по времени на ε (см. рисунок далее).

24

© К.Ю. Поляков, 2008

Так как для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, сигнал на выходе будет равен разности реакций системы на входы 1(t) и 1(t −ε) , умноженной на коэффициент 1/ ε . Учиты-

вая, что реакция на сигнал 1(t) – это переходная функция h(t) , получаем y(t) = ε1 [h(t) −h(t −ε)].

Переходя к пределу при ε → 0 , наодим, что импульсная характеристика

как оказывается, равна производной от переходной функции. Наоборот, переходная функция – это интеграл от импульсной характеристики на интервале от 0 до t:

h(t) = ∫t w(τ) dτ .

0

Дифференцируя переходную характеристику (17) звена первого порядка, получаем соответствующую импульсную характеристику:

Другое название импульсной характеристики – весовая функция. Это название связано с тем, что для произвольного входного сигнала x(t) выход системы y(t) при нулевых начальных

условиях вычисляется как интеграл

Заметим, что импульсная характеристика дает неполную информацию об объекте, поскольку не учитывает ненулевые начальные условия.

В отличие от ступенчатого сигнала, мгновенный импульс бесконечной величины невозможно получить на реальном устройстве, поэтому снять импульсную характеристику системы, строго говоря, экспериментально не удается.

3.5. Передаточная функция

Вы уже знаете, выходной сигнал системы можно представить как результат действия некоторого оператора на ее вход. Для линейных моделей такой оператор можно записать следующим образом.

Пусть модель объекта задана линейным дифференциальным уравнением второго порядка,

25