Материал: Polyakov_Tu_Metoda

© К.Ю. Поляков, 2008

U[x] = ∫t x(t) dt .

0

Оператор, который действует по такому правилу, называется оператором интегрирования. С помощью этого оператора можно, например, описать наполнение пустого бака водой. Если сечение бака S (в м2) постоянно по всей его высоте, то уровень воды h определяется как интеграл от потока воды q (в м3/с), деленный на S:

h(t) = 1 ∫t q(t) dt , S 0

Обратный оператор – оператор дифференцирования – вычисляет производную:

U[x(t)] = x&(t) = dxdt(t) .

Как мы увидим, этот оператор играет очень важную роль в описании объектов управления. Обычно оператор дифференцирования обозначается буквой p. Запись y(t) = p x(t) внешне

выглядит как «умножение» оператора p на сигнал x(t) , но на самом деле обозначает действие этого оператора, то есть дифференцирование:

Где встречаются такие операторы? Приведем примеры из электротехники. Например, известно, что ток i (в амперах), проходящий по цепи с конденсатором, пропорционален производной от разности потенциалов u (в вольтах) на его пластинах:

i

i(t) = C dudt(t) = C p u(t) u

Здесь C – емкость конденсатора (измеряется в фарадах). Кроме того, падение напряжения u на катушке индуктивности пропорционально производной от проходящего тока i :

i

u

u(t) = L didt(t) = L p i(t)

где L – индуктивность (измеряется в генри).

Оператор дифференцирования – это идеальный (физически нереализуемый) оператор, его невозможно реализовать на практике. Чтобы понять это вспомним, что при мгновенном изменении сигнала его производная (скорость возрастания) будет равна бесконечности, а никакое реальное устройство не может работать с бесконечными сигналами.

2.3. Как строятся модели?

Во-первых, математические модели могут быть получены теоретически из законов физики (законы сохранения массы, энергии, импульса). Эти модели описывают внутренние связи в объекте и, как правило, наиболее точны.

Рассмотрим RLC-цепочку, то есть последовательное соединение резистора с сопротивлением R (в омах), катушки индуктивности с индуктивностью L и конденсатора с емкостью C. Она может быть описана с помощью двух уравнений:

Первое уравнение означает, что разность потенциалов на концах RLC-цепочки равна сумме разностей потенциалов на всех промежуточных участках. Разность потенциалов R i(t) на рези-

11

© К.Ю. Поляков, 2008

сторе вычисляется по закону Ома, а на катушке – по формуле, приведенной в предыдущем параграфе. Второе уравнение описывает связь между напряжением и током для конденсатора. Вход этого объекта – напряжение u(t) на концах цепочки, а выход – разность потенциалов

uc (t) на пластинах конденсатора.

Второй способ – построение модели в результате наблюдения за объектом при различных входных сигналах (этим занимается теория идентификации). Объект рассматривается как «черный ящик», то есть, его внутреннее устройство неизвестно. Мы смотрим, как он реагирует на входные сигналы, и стараемся подстроить модель так, чтобы выходы модели и объекта совпадали как можно точнее при разнообразных входах.

На практике часто используется смешанный способ: структура модели (вид уравнения, связывающего вход и выход) определяется из теории, а коэффициенты находят опытным путем. Например, общий вид уравнений движения корабля хорошо известен, однако в этих уравнениях есть коэффициенты, которые зависят от многих факторов (формы корпуса, шероховатости поверхности и т.п.), так что их крайне сложно (или невозможно) найти теоретически. В этом случае для определения неизвестных коэффициентов строят масштабные модели и испытывают их в бассейнах по специальным методикам. В авиастроении для тех же целей используют аэродинамические трубы.

Для любого объекта управления можно построить множество различных моделей, которые будут учитывать (или не учитывать) те или иные факторы. Обычно на первом этапе стараются описать объект как можно более подробно, составить детальную модель. Однако при этом будет трудно теоретически рассчитать закон управления, который отвечает заданным требованиям к системе. Даже если мы сможем его рассчитать, он может оказаться слишком сложным для реализации или очень дорогим.

С другой стороны, можно упростить модель объекта, отбросив некоторые «детали», которые кажутся разработчику маловажными. Для упрощенной модели закон управления также получается проще, и с его помощью часто можно добиться желаемого результата. Однако в этом случае нет гарантии, что он будет так же хорошо управлять полной моделью (и реальным объектом).

Обычно используется компромиссный вариант. Начинают с простых моделей, стараясь спроектировать регулятор так, чтобы он «подходил» и для сложной модели. Это свойство называют робастностью (грубостью) регулятора (или системы), оно означает нечувствительность к ошибкам моделирования. Затем проверяют работу построенного закона управления на полной модели или на реальном объекте. Если получен отрицательный результат (простой регулятор «не работает»), усложняют модель, вводя в нее дополнительные подробности. И все начинается сначала.

2.4. Линейность и нелинейность

Из школьной математики известно, что проще всего решать линейные уравнения. С нелинейными уравнениями (квадратными, кубическими и др.) работать намного сложнее, многие типы уравнений математика пока не умеет решать аналитически (точно).

Среди операторов самые простые – также линейные. Они обладают двумя свойствами2:

• умножение на константу: U[α x] =α U[x] , где α – любая постоянная (то есть, при увеличении входа в несколько раз выход увеличивается во столько же раз);

•принцип суперпозиции: если на вход подать сумму двух сигналов, выход будет представлять собой сумму реакций того же оператора на отдельные сигналы:

U[x1 + x2 ] =U[x1 ] +U[x2 ].

Модели, которые описываются линейными операторами, называются линейными. С ними можно работать с помощью методов теории линейных систем, которая наиболее развита и позволяет точно решать большинство известных практических задач.

2 В математике эти свойства называют однородность и аддитивность.

12

© К.Ю. Поляков, 2008

Однако, все модели реальных систем – нелинейные. Это легко понять хотя бы потому, что всегда есть предельно допустимое значение входного сигнала – при его превышении объект может просто выйти из строя или даже разрушиться (линейность нарушается). Методы исследования нелинейных операторов очень сложны математически, в теории нелинейных систем точные решения известны только для достаточно узкого круга задач. Здесь пока больше «белых пятен», чем полученных результатов, хотя это научное направление активно развивается в последние годы.

Что же делать? Чаще всего сначала проводят линеаризацию нелинейной модели объекта (привода), то есть строят приближенную линейную модель. Затем на основе этой модели проектируют закон управления, применяя точные методы теории линейных систем. Наконец, проверяют полученный регулятор с помощью компьютерного моделирования на полной нелинейной модели.

Нужно отметить, что если объект или привод имеют так называемую «существенную» нелинейность, этот подход может не сработать. Тогда приходится использовать методы нелинейной теории, а также компьютерное моделирование. Моделирование стало очень популярным в последнее время, поскольку появились мощные компьютерные программы для проведения вычислительных экспериментов, и можно проверить поведение системы при разнообразных допустимых входных сигналах.

Таким образом, в классификацию систем управления в разделе 1.3 нужно добавить еще одно деление, может быть, самое существенное – системы бывают линейные и нелинейные. В линейных системах все звенья описываются линейными операторами, и это значительно упрощает работу с ними.

2.5. Линеаризация уравнений

Вы уже знаете, что в теории управления лучше всего разработаны методы исследования линейных систем. Однако строго линейных систем в окружающем нас мире не существует. Поэтому для того, чтобы эти методы можно было применить на практике, нужно выполнить линеаризацию – построить приближенную линейную модель на основе более реалистичной нелинейной модели объекта.

где α = S0 2g – постоянная величина. Это статическая модель, потому что она не содержит

производных, характеризующих изменение сигналов во времени. Статическая модель описывает установившееся состояние (статический режим), когда в баке поддерживается постоянный уровень воды и поток вытекающей воды тоже постоянный.

13

© К.Ю. Поляков, 2008

Очевидно, что модель (2) – нелинейная, поскольку содержит h . Линеаризовать ее – значит приближенно заменить уравнение (2) линейным уравнением q = k h , где k – некоторый ко-

эффициент. Как его выбрать? На этот вопрос нет однозначного ответа.

Предположим, что уровень воды изменяется в интервале от 0 до 1 м. Тогда один из вариантов – вычислить коэффициент как угол наклона отрезка, соединяющего точки кривой

q =α h на концах этого интервала. Для определенности далее везде принимаем α =1, тогда

получаем k =1.

Конечно, эта модель очень грубая и дает большую ошибку, особенно для уровней в диапазоне от 0,1 до 0,6. Чтобы уменьшить ошибку, можно попробовать несколько изменить k (например, увеличив его до 1,2), однако точность приближения по-прежнему будет невысока, хотя

k = 0,707 k =1

Теперь предположим, что обычно уровень мало изменяется вблизи среднего значения h = 0,5 м. В этом случае можно применить другой подход. Заметим, что в этой области кривая

q =α h почти совпадает с касательной в точке (0,5; 22 ) , угол наклона которой равен произ-

водной

Это линейное уравнение, однако модель (3) – нелинейная, поскольку для нее не выполняется, например, свойство умножения на константу. Это легко проверить, сравнив U[2 h] и 2 U[h] :

Принцип суперпозиции также не выполняется.

Для того, чтобы получить из (3) линейную модель, нужно записать уравнения в отклонениях от рабочей точки (h0 ; q0 ) , в которой мы определяли наклон касательной. Из (3) следу-

ет, что

14

Поскольку график зависимости (3) проходит через точку (h0 ; q0 ) , можно применить равенство

Полученное таким образом уравнение – это линейная модель объекта, записанная в отклонениях входа и выхода от номинальной (рабочей) точки (h0 ; q0 ) . Приближенная модель (5) точнее

всего соответствует объекту вблизи этой точки, а при больших отклонениях от нее ошибка может значительно возрастать.

На этом простом примере мы познакомились с основными принципами линеаризации нелинейных алгебраических уравнений. В следующем параграфе те же самые идеи используются для более сложной модели, которая описывает динамику системы (изменение во времени).

2.5.2. Дифференциальные уравнения

Реальные объекты не могут мгновенно изменять свое состояние, поэтому вместо статических моделей типа (2) для их исследования используют динамические модели, которые описываются дифференциальными уравнениями, содержащими производные (скорости изменения сигналов). Как мы видели в разделе 2.3, такие модели могут быть получены из физических законов. Во многих случаях более или менее точные модели представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения, поэтому для того, чтобы применить теорию линейных систем, требуется линеаризация. При этом применяется почти та же методика, что и для алгебраических уравнений.

Идея линеаризации заключается в том, что в системах регулирования (поддержания заданных значений величин) сигналы мало отклоняются от рабочей точки – некоторого положения равновесия, в котором все сигналы имеют «правильные» значения и их производные равны нулю. Поэтому для решения задач управления часто достаточно использовать линейную модель в отклонениях от этой рабочей точки.

Модель, только что построенная для бака с водой, не совсем правильная, потому что не учитывает, что уровень в баке изменяется – уменьшается по мере вытекания воды. Кроме того, предположим, что для поддержания уровня используется насос, который подкачивает воду в бак, его расход обозначим через Q . Для такого объекта входом является расход Q, а выходом –

изменение уровня h.

Предположим, что в течение маленького интервала ∆t расходы Q и q можно считать постоянным. За это время объем воды, добавленной в бак насосом, равен Q ∆t , а объем «ушед-

Эта модель учитывает, что уровень воды и расходы изменяются во времени. Вспомним, что

15