Материал: 2277

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

Приложение 4

 

Обратная матрица

A 1

− обратная матрица к A a

, если

С

ij n,n

A A 1

A 1 A E.

 

Нахожден е обратной матрицы A 1:

1. Выч сл ть определитель матрицы A. (Если det A 0, то A 1

нения4. Умнож ть A на

.

 

 

 

 

 

 

не существует.)

 

 

 

~

 

 

 

 

~

 

~

2.

остав ть матр

цу A Ai j

, где Ai j – алгебраические допол-

элементов ai j матрицы A.

 

 

 

 

 

 

 

бА1 1 1

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Транспон ровать A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

~ T

 

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

det A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства о ратной матрицы:

 

 

 

 

 

 

1. A

1

1

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A;

 

 

 

 

 

2. AB

 

 

B

A

;

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

3. AT

A 1

;

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

A

 

 

 

A

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

256

Приложение 5

Системы линейных уравнений

истема m линейных уравнений с n неизвестными:

a11x1 a12x2 a1nxn b1;

a x a

22

x

a

x

b ;

 

 

21 1

 

2

 

2n n

2

 

 

 

a

x a

m2

x

a

x

b .

 

 

m1 1

2

 

mn n

m

С

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

 

 

a12

a1n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матр ца коэфф ц ентов системы: A

 

a21

 

 

 

 

 

 

a2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

m1

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mn

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Столбец сво одных членов: B

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

a

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

12

 

a

1n

 

 

1

 

 

Расширенная матрица системы: A*

a

21

 

 

 

a

22

 

2n

 

 

b

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

a

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

m1

 

 

m2

mn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

Матрица-столбец из переменных:

X

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод Крамера решения крамеровских систем [число неиз-

вестных системы совпадает с числом уравнений (m n) и определи-

тель системы отличен от нуля]:

 

 

 

 

 

И

x

1

; x

 

 

2

; ; x

n

 

n

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

257

Окончание прил. 5

где det A 0, i – определитель, который получается из определителя системы, если в нем i-й столбец заменить столбцом свободных членов i 1, 2, ,n .

СМатричный метод решения крамеровских систем [число неиз-

вестных с стемы совпадает с числом уравнений (m n) и определи-

тель с стемы отл чен от нуля]: матрицы X A 1B.

Метод Гаусса решения произвольных систем.

Пр веден е расширенной матрицы системы с помощью эле-

– умножатьбавлятьстроки матрицы A* на любые числа, кроме нуля;

ментарных прео разований, производимых только над строками этой

к трапец ев дному виду.

Разрешаются элементарные преобразования:

– пр

к лю ой строке другую строку, умноженную на

любое ч сло;

А

 

– переставлять строкиA*;

– вычеркивать одну из двух пропорциональных строк;

– вычеркивать нулевую строку.

Возможные результаты:

Д

 

а)

0

 

 

 

 

 

система имеет единственное решение (совмест-

на);

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

система имеет бесконечно много решений (со-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вместна);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

в)

0=

 

система противоречива, решений не имеет (несо-

 

 

 

вместна).

258

Приложение 6

Ранг матрицы

Ранг матрицы А – наибольший порядок минора этой матрицы, Сотличный от нуля. Обозначение: r A , rang(A).

Элементарные преобразования, не меняющие ранга матрицы:

строки

–

перестановка строк матрицы;

–

вычерк ван е строки, все элементы которой равны нулю;

–

умножен е какой-ли о строки на число, отличное от нуля;

– пр бавлен е к элементам одной строки соответствующих эле-

ментов другой

;

– те же операц

со стол цами.

Теорема Кронекера–Капелли (критерий совместности системы линейных уравнен й): для совместности системы линейных уравне-

ний необходимо и достаточно, ранг матрицы системы был ра-

чтобы

вен рангу расширеннойАматрицы системы: r A r A*.

Если система совместна т. е. r A r A* , то возможны случаи: а) r A r A* r n (ранг равен числу неизвестных). Система m линейных уравненийДс n неизвестными совместна,

определена, имеет единственное решение.

б) r A r A* =r n (ранг меньше числа неизвестных). Система m линейных уравнений с n неизвестными совместна,

определена, имеет бесконечно многорешений. И

259

 

 

 

 

 

 

Приложение 7

обственные векторы, собственные значения матрицы

A квадратная матрица;

X неизвестный числовой вектор;

С

 

 

 

 

 

неизвестное число.

 

 

 

 

 

обственные значения матрицы A ─ нетривиальные решения

уравнен я

AX X ; собственные векторы ─ нетривиальные

решен я Х.

 

 

 

 

 

 

или

 

 

 

 

Нахожден е со ственных чисел: составить и решить характе-

ристическое уравнен е

 

 

 

 

 

 

 

det A E 0,

 

 

 

 

 

А

 

 

a11

a12

 

 

a1n

 

 

a21

a22

 

a2n

0.

 

б

 

 

 

 

 

 

 

 

an1

an2

 

ann

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

И

260

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия