Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Приложение 30

Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма. Пусть функция f (x) определена, непрерывна на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0 существует про зводная этой функции, то f (x0 ) = 0.

Теорема Ролля. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b],

руема в каждой точке интервала (a, b) и f (a) = f(b), то
С	отрезка [a, b],
существует по крайней мере одна внутренняя точка x0
такая, что f ' (x0) = 0.

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке
[a, b], д фференц руема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна
дифференц
внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что верна формула
f (x0 )=	f (b) f (a).
	b a
Формула Лагранжа.		f (b) – f (a) = f (x0)(b – a).
Признак постоянства функции. Если функция f(x) непрерывна
	бА		f	(x) = 0,
на отрезке [a, b] и во всех внутренних точках этого отрезка			f	(x) = 0,
то функция f (x) постоянна на отрезке [a, b].

Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) непрерывны на отрез-
ке [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем f '(x) 0 для любой точ-
			Д
ки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x0 отрезка
[a, b], такая, что	f (b) f (a)	=	f (x0)	.	И

(b) (a)			(x0)

291

						Приложение 31
				Дифференциал функции
С				d f(x) = f (x) dx,
С
Формулы для приближенных вычислений с помощью
дифференц ала
функцииД фференц ал					f(x) в точке x0 равен приращению орди-
			f	(x x0 ) f (x0		) f (x0 ) x;
				y f (x0) x.
	бА
Геометр ческий смысл						дифференциала df (x0)
наты касательной.
		Свойства дифференциала функции
1. d (u + v) = du + dv.
2. d (u v) = u dv + v du.
3. d	u	= du v u dv			(v 0).
3. d		= du v u dv			(v 0).
v				v2		И
				ДифференциалДn-го порядка

d ny = f (n)( x) dx n.

292

Приложение 32

Исследование функции и построение графика


	Необходимое условие монотонности функции
СX							X
а) Если дифференцируемая функция f					(x) монотонно возрастает
на промежутке X		производная	f (x)		существует	на	X ,		то
f (x) 0; x X .
Если					f (x) монотонно убывает
б)	д фференцируемая функция				f (x) монотонно убывает
на промежутке		производная	f	(x)	существует	на		,	то
f (x) 0; x X .


бА
Достаточное условие монотонности функции
а) Если f (x) – д фференцируемая на X		функция и	f (x) 0;
x X , то f (x) монотонно возрастает на X .			f (x) 0;
б) Если f (x) – дифференцируемая на X		функция и
x X , то f (x) монотонно у ывает на X .
Необходимое условие экстремума
	Д
Если дифференцируемая в точке x c функция y f			(x) имеет
экстремум в этой точке, то f (c) 0.
	И
Достаточное условие экстремума
Пусть функция y f (x)	непрерывна, дифференцируема во всех
точках некоторого интервала,	содержащего точку x c, за исключе-

нием, возможно, самой точки c. Если при переходе аргумента через критическую точку с первая производная меняет знак, то данная критическая точка 1-го рода является точкой экстремума.

293

Продолжение прил. 32

Достаточный признак существования экстремума, основанный на второй производной

С				критическая точка для функции y f (x), причем
Пусть x c –
f (c) 0. Тогда
а) если			f (c) 0, то x c – точка локального минимума;
б) если			f (c) 0, то x c – точка локального максимума.
Если
Прав ло определения направления выпуклости графика
функц	Необходимоеусловие существования точек перегиба
а)
			f (x) 0		во всех внутренних точках Х, то функция
y f (x)		выпукла вверх на Х;
б) Если			f (x) 0		во всех внутренних точках Х, то функция
y f (x)		выпукла вн з на Х.
				А
Пусть график функции y f (x) имеет перегиб в точке с. Если
функция		y f (x)			Д
				имеет непрерывную вторую производную, то
f (c) 0.
Достаточное условие существования точки перегиба
					И

Пусть функция y f (x) непрерывна, дважды дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x c, за исключением, возможно, самой точки c. Пусть x c – критическая точка 2-го рода. Если при переходе аргумента через точку с вторая производная функции меняет знак, то данная критическая точка 2-го рода является точкой перегиба.

294

Окончание прил. 32

Асимптоты графика функции

Прямая x a			называется вертикальной асимптотой кривой
С				f (x) или lim				f (x) .
y f (x), если		lim
		x a 0					x a 0
Прямая		y =	kx+	b	является		наклонной асимптотой кривой
y f (x),		k lim			f (x)	;	b lim	( f (x) k x) .

еxсли							x
			x		x
Прямая y b является горизонтальной асимптотой, если
1.	Найтиобластьопределения функции.
k lim	f (x) 0; b lim f x 0.
x				x
	Схема	сследования функции и построения графика
2.	Выяснить, является ли функция чётной, нечётной или общего
вида.						Д
3.
	Найти точки пересечения графика с осями координат.
4.	Найти асимптотыАграфика функции (вертикальные, горизон-
тальные, наклонные).
5.	Найти первую производную функции. Определить интервалы
возрастания, убывания, точки экстремума функции.
6.								И
	Найти вторую производную функции. Определить интервалы
выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции.
7.	На основании проведённого исследования выбрать масштаб,
построить график функции.

295

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия