Материал: 2277

0

0

0

1

2

0

0

0

i

при

i j;

0

0

0

, или a

i j

3

0

при

i j.

0

0

0

n

Д агональную матрицу, у которой все диагональные элементы

равны ед н це, называют единичной порядка n:

и

0

0

С

1

Е

0 1

0 ,

бА

n

i j

0

0

1

здесь использовано о означение i j

1

при

i j;

0

при

i j.

Две матрицы одного и того же размера A ai j

и B bi j счи-

тают равными тогда и только тогда, когда для всех i

и j

выполняется

равенство ai j bi j .

Д

Суммой двух матриц A ai j

и B bi j

одного и того же раз-

мера m n

называется

матрица

C ci j

размера

m n,

где

ci j

ai j bi j для всех i и j

И

(прил. 2). Обозначение: C

A B.

Произведением матрицы A ai j размера m n на число на-

зывается матрица C ci j

размера m n: ci j ai j

для всех i

и j.

Обозначают C A.

A.

Матрицу C 1 A A называют противоположной матрице

Матрицу C ci j размера m n называют произведением мат-

рицы A ai j

размера m p на матрицу B bi j размера p n, ес-

ли

для всех i

и j элементы матрицы С находятся по формуле

Обозначение: C AB.

Заметим, что произведение AB возможно, если число столбцов

С

матрицы A совпадает с числом строк матрицы B.

хематически это можно изобразить так:

p

n

n

m

A

B

=

m

C

p

бА3. A 0 0 A A.

определено произведение

AB,

то необязательно BA имеет

смыслЕсли. A B квадратные матрицы одного порядка, то опреде-

лены про зведен я AB, и BA, но, возможно, что AB BA.

Если AB BA, то матрицы A и B называют перестановочны-

ми. Из свойств сложения и умножения чисел легко получают свойства

операций над матрицами:

1.

A B B A.

2. A B C A B C .

4.

A A 0.

И

5. A A.

6.

A B A B.

7. AДA A.

8. AB A B A B .

9. A BC AB C.

10. A B C AC BС.

11.

A B C AB AC.

С

4. AB T BT AT .

5. ET E.

НайтиA 1 1 1

0 ;

B

.

Пр меры:

1.

про зведение A B матриц:

столбца

1

1

2

0

3

0

2

4

4 3

1

1

3

1

0

3

А

Решение. У матрицы

четыре

, у

В – четыре строки, поэтому

умножение матриц возможно.

Д

2 0

3

0

1

1

1

11

2

4

AB 1 1

1

0

1

3

4

6 .

1 4

3 1

12

21

0

3

1 1

1

1

1

2

0

И

A 2 1

;

B 2

0

3 .

3 3

1

1

1

1

1

1 1 1

1

2

AB 2 1

0 2 0

3

С

3 3

1 1

1

1

1 2 1

1 0 1

2 3 1

2

2 6

2 0 0

2 2 0

4 3 0 4

2 7 .

3 6 1

3 0 1

6 9 1

10

2 14

Теперь найдем BA:

1

1

2 1

1

1

3

2

1

0

иBA 2 0

1 1

1

3 3

1

1 2 6

1 1 6

1 0 2

9

8

1

2 0 9

2 0 9

2 0 3 11 11

1 .

1 2 3

1 1 3

1 0 1

4

3

2

Д

ЗаметимбА, что AB BA.

1

1

И

2

4

3. Найти AT , если A

.

1

3

0

3

Решение. Матрица A размера 4 2. Матрица AT имеет размер 2 4:

T

1

2

1

0

A

.

4

3

1

3

§2. Определители

Понятие «определитель» или «детерминант» вводится только

для квадратных матриц. Определитель

матрицы

A обозначается

det A,

A

:

С

a11

a1n

det A

.

прил

an1 ann

Определ тель квадратной матрицы – это число, которое может

быть выч слено по её элементам

в соответствии

с определением

(

. 3).

бА

Определен е

1. Определ телем матрицы первого порядка называется единст-

венный элемент этой матрицы.

Если A 3 , тогда

A

3; если A 5 , тогда

A

5.

a11

a1n

2. Определителем матрицы A

порядка n 1 на-

Д

an1

ann

n

k i

aikMik (прил. 3).

зывается число det A 1

k 1

Здесь i произвольное целое число от 1 до n;

Mik

определитель порядка n 1 , полученный из матрицы A

вычёркиванием i-й строки и k-го столбца.

И

Mik

называется минором порядка n 1 матрицы A, соответст-

вующим элементу aik .

Алгебраическим дополнением элемента aik

называется число

A 1 i k

M

i k

.

ik