Материал: 2277

Замечательные пределы

Приложение 26

sin x

1. lim

1

первый замечательный предел.

x 0

x

x

1

Сa

2. lim

1

x

e второй замечательный предел;

x

lim 1 x 1 x

e.

x 0

и

3. lim

log

1 x

x 0

x

бА

lim

ln 1 x

1 частный случай.

x 0

x

4. lim

ax 1

x 0

x

ex 1

lim

1 частный случай.

x 0

x

arcsinДx arctg x

5. lim 1 x 1 .

x 0

x

tg x

lim

1; lim

1; lim

1.

x

x

x 0

x 0

x 0 x

Таблица эквивалентных функций

1) sin ~

;

2)Иtg ~ ;

0

0

3) arcsin

~

;

4) arctg

~ ;

0

0

5) ln 1 ~ ;

6) e 1 ~ ;

0

0

7) 1 n 1 ~ n ;

8) a 1~ lna.

0

0

Приложение 27

Непрерывность функции

Развёрнутое определение непрерывности

С

Функция y f x является непрерывной в точке а, если

1) определено значение функции в точке а;

2)

lim

f x ; lim f x ;

эти

x a

x a

lim f x lim

f x ;

3)

эти пределы равны между собой:

x a

x a

4)

пределы равны f (a): lim f x lim

f x f a .

x a

x a

Свойства непрерывных функций

1. Если f x

g x непрерывны в точке а, то

1)

f x g x сумма (разность) непрерывна в точке а;

2)

3)

f x

отношение

непрерывно

в точке а при условии

g a 0.

2. (НепрерывностьбАсложной функции). Если y x непрерыв-

на в точке а и

z f y

непрерывна в

точке

b a ,

то сложная

функция z f x непрерывна в точке а.

И

Теорема ВейерштрассаД

Если функция непрерывна на отрезке a;b , то она достигает на

этом отрезке

своего

наименьшего

и

наибольшего

значений:

x1,x2 a,b : f x1 m,

f x2 M .

С

9. arcsinx

.

1

2

1

x

.

1

2

x

10. arccosx

.

3. a

x

1 x2

x

lna;

a

11. arctgx

.

1 x2

ex ex.

1

4. loga x

;

1

иxlna

12. arcctgx

1 x2 .

1

lnx

.

x

cosx.

13. (shx)' = chx.

5. sinx

14. (chx)' = shx.

6. cosx

sinx.

1

1

7. tgx

.

15.

(thx)

.

ch2 x

cos2 x

1

1

8. ctgx

2

.

Д16. (cthx) .

sin

x

sh

x

И

uv

u v uv

;

u

u v uv

;

v2

v