Материал: 2277

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

 

 

 

f (x) = –sin x = sin (x + 2 /2);

f (0) = 0;

 

 

 

f (x) = –cos x = sin(x + 3 /2);

f (0) = –1;

 

 

 

 

f (4)(x) = sin x = sin (x + 4 /2);

f (4)(0) = 0;

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

f

(n)(x) = sin(x + n / 2);

f (n)(0) = sin

 

.

 

 

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n = 2 m; m N,

то f (2m)(0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

n = 2m + 1, то

f (2m+1)(0) = (–1)m,

 

 

 

 

 

 

поэтому, спользуя формулу Маклорена (18), получим

 

 

x

3

 

 

x5

 

 

 

m x2m 1

 

m+1

x

2m 3

 

sin x = x –

3!

+

5!

– ... + (–1)

 

 

 

 

 

+ (–1)

 

 

 

 

cos x.

(20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2m 1)!

 

 

 

(2m 3)!

 

3. Для функции

 

f(x) = cos x можно аналогично получить сле-

дующую формулу Маклорена:

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x4

 

 

 

 

m x2m

 

m+1

x2m 2

 

сos x = 1 –

 

 

+

 

 

 

 

– ... + (–1)

 

 

 

 

+ (–1)

 

 

 

 

 

cos x .

(21)

 

 

2!

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2m)!

 

 

(2m 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

Поскольку x R: |cos x| < 1, то получим оценки остаточных

членов в формулах (20) и (21):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x

 

 

| x |2m 3

 

 

[по формуле (15)];

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

(2m 3)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R x

 

 

| x|2m 2

 

 

[по формуле (17)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

(2m 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Вычислить приближенно sin 20o с точностью до 0,0001.

 

221

Решение. Используем формулы (8), (9) при x = 20o = и взяв 2 чле- 9

на разложения:

С

 

 

3 1

 

sin

 

 

 

 

 

–

 

 

 

 

 

 

= 0,3420;

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

9

9

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

|Rn| <

 

 

 

 

 

 

 

 

0,0001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дифференц

9

5!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вопросы задания для самопроверки к разделу

«

альное

счисление функции одной действительной

 

переменной»

([1,2,3,7,8,9,10,11], прил. 28–33)

1.

Дайте определение производной.

 

2.

Поясн те геометрический, физический смысл производной.

3.

Какой физический смысл у второй производной?

4.

Напишите уравнение касательной.

5.

Какое уравнение имеет нормаль к кривой?

6.

Сформулируйте основные свойства производной.

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

Знаете ли вы производные элементарных функций?

8.

КакбАнаходится производная сложной функции?

9.

Приведите пример нахождения производной от функции, за-

данной неявно.

 

10.

Как найти производные от функций, заданных параметриче-

ски?

 

И

 

 

11.

Что такое логарифмическое дифференцирование?

12.

Что такое производные высших порядков?

13.

Дайте определение и свойства дифференциала функции.

14.

Какой геометрический смысл у дифференциала?

15.

Какие формулы приближенных вычислений с помощью

дифференциала вы знаете?

 

16.

Как находятся дифференциалы высших порядков?

17.

Поясните, как производят нахождение области определения

функции, проверки четности, нечетности, периодичности.

18.

Как находятся асимптоты функции: горизонтальные, верти-

кальные, наклонные?

 

222

19. В чем заключается исследование функции с помощью первой производной? Как находят промежутки монотонности, экстремумы?

20.

Что дает исследование функции с помощью второй произ-

водной?

Укажите схему нахождения промежутков выпуклости, во-

С

гнутости, точки перегиба.

21.

Как можно найти эктремумы функции с помощью второй

производной?

22.

Укаж те схему нахождения наименьшего и наибольшего

и

значен й функц на отрезке.

23.

формул руйте правило Лопиталя вычисления пределов.

24. Как выглядят формулы Тейлора и Маклорена?

25. Нап ш те формулы остаточного члена формулы Тейлора.

 

бА

 

Д

 

И

223

Задачи для самостоятельного решения

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

 

2 3

 

 

 

4

 

7

 

1

3 4

 

 

 

 

 

 

С

;

B

 

 

 

 

 

 

; C

 

 

;

 

 

 

 

 

1. A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

3

 

 

2

 

 

 

 

7

6 2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

5

 

2 1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

;

E

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

6

 

 

 

3

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти2. матр цу B AAT

, решив матричное уравнение

 

 

 

 

Можно ли слож ть матрицы

A

и C

?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти A B

 

B A.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Провер ть на пр мере данных матриц, что A B C A B C .

 

бА3 1 2

 

 

 

 

2

 

 

Определено ли

произведение

AC?

Какого размера

матрица

получ тся в результате? Определено ли произведение CA? Почему?

 

 

 

 

 

 

 

3 4

7

 

 

5

8 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2A

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 8 9

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

 

 

 

 

 

 

 

3. Перемножить матрицы:

 

Д

 

 

 

 

2

1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

и 1 2

3 ; в) 1 2

3 и

4

.

а)

 

и

 

2 1 ; б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

0 1

 

 

1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

4. Найти

A A

. Имеет ли смысл произведение A

 

A?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

1

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

224

5. Найти A2 A, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

 

1

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 3

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1 4

 

 

1

 

 

3

 

 

 

 

1

2

6. A

 

 

2

 

 

1

 

;

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

; B

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

2

 

2 1

 

 

 

1

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Провер ть, что AB C A BC .

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

A4, если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) A

1

1

;

 

 

 

 

 

cos

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

) A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

8. A 5

7 1 ;

 

B 3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверить, что AB T

BT AT .

 

 

 

 

 

 

И

9. Найти определители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

2

3

 

 

;

 

б)

 

 

sin

 

cos

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

 

 

 

 

 

cos

 

sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

1

 

 

в)

1

2

 

2

 

3

 

 

; г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

x2 x 1

 

 

 

2 3

1 2

 

 

 

 

 

 

 

10. Решить уравнение

 

 

 

x2

 

5x

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

225

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия