Материал: 2277

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

-4

-2

-4

бА

Рис. 106

2. Провести полное исследование функции

y 3

6x2 x3

и по-

строить её график.

Решение.1. Область определения функции

( ; ).

Исследуем

функцию

на

четность,

нечетность:

f ( x) 3

6x2 x3

f (x), следовательно, это функция общего вида.

3. При x 0

находим, что y 0, т. е. О(0,0) – точка пересече-

ния с осью Oy; при

y 0 получаем,

что

x 0 и

x 6. так, точки

О(0,0) и M 6,0

)

– точки пересечения с осью Ox

(

4. Ищем асимптоты: вертикальных нет, так как у функции нет точек разрыва.

Наклонная асимптота – это прямая y = kx+ b, где

k lim f (x) lim 36x2 x3 1;

x x x x

216

b lim

( f (x) k x) lim(3

6x2 x3

x) 2,

значит,

y x 2 – наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет, так как есть наклонная.

5. Первая производная имеет вид

x(4 x)

(x2 (6 x))

Реш м уравнен е

x(4 x)

и найдём критические точки

(x2 (6 x))

первого рода:

бА

x1 0:

y не существует в этой точке, но меняет знак при

переходе через неё с м нуса на плюс, значит,

( )

= 0– точка мини-

y 0

мума (особый экстремум);

x2 4:

y 0 в этой точке и меняет знак при переходе че-

рез неё с плюса на минус, значит, y(4) 3,2

– точка максимума;

x3 6:

y не существует в этой точке, не меняет знак при

переходе через точку, значит, экстремума в этой точке нет.

Вторая производная равна y

(6 x)

Решим уравнение

и найдём критические точки

(6 x)

второго рода:

y не существует в этой точке,

x3 6:

меняет знак с ми-

нуса на плюс при переходе через точку, значит, y

( )

6 = 0 – точка пе-

региба;

x1 0: исследована выше.

7. Построим график (рис. 107).

217

Рис. 107

Посмотр те в део 9.

§ 45. Формула Тейлора

Пусть функц я f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка

включительно в некотором промежутке, и число x0

принадлежит это-

му промежутку. Формула

f (x) = f (x0) +

f (x0)

(x – x0) +

f (x0)(x – x0) 2 +...+

f (n) (x0)

(x – x0) n +

+ Rn(x)

бА

(14)

называется формулой Тейлора для функции f(x) , а Rn(x) называется

остаточным членом (прил. 33).

Рассмотрим многочлен

Pn(x) = Pn(x0) +

)

(x – x0) +

P (x

)

(x – x0)2 + ... +

P (n) (x

)

(x – x0) n.

Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то формула Тейлора дает приближенное значение для функции f (x):

f (x) Pn(x),

218

при этом погрешность этого приближения равна остаточному члену

Rn(x).

Для оценки остаточного члена Rn(x) используются различные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид

Rn(x) =

(n 1)(с)

(x – x0)

n+1

(15)

(n 1)!

где c – некоторое ч сло, заключенное между x0 и x.

Ч сло c можно представить в виде

c = x0 + (x – x0), где

число

заключено между 0

1: 0 < < 1. Тогда формула остаточного чле-

на

в д

Rn(x) =

f (n 1)

(x x

))

(x – x0) n+1.

(16)

(n 1)!

примет

Еще одна формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет

вид

Rn(x) =

f (n 1) (x

(x x

))

(x – x0) n+1(1 – ) n,

(17)

где удовлетворяетбАнеравенству 0 < < 1.

Отметим, что значения в формулах (16) и (17) различные. Заметим, что если в формуле Тейлора (14) положить n = 0 и ос-

таточный член записать в форме ЛагранжаИ(15), то получим f(x) = = f(x0) + f (c)(x – x0), откуда получаем формулу Лагранжа

f(x) – f(x0) = f (c)(x – x0).

Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (14) положить x0 = 0, то получим фор-

мулу, называемую формулой Маклорена:

219

f(x) = f(0) +

f (0)

x +

f (0)

x2 + ... +

f (n)(0)

xn + Rn(x),

(18)

где Rn(x) =

f (n 1)( x)

n+1

(0 <

< 1) – остаточный член в форме

(n 1)!

Лагранжа.

Пр меры:

Рассмотр м

спользование формулы Тейлора. Найдем разложе-

ние

некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем

возьмем x0 = 0 (т. е. вып шем формулы Маклорена для этих функций).

С1. f(x) = e .

f (x) = ex;

f (n)(x) = ex и f(0) = 1;

Решен е. Так как

...;

f (0) = 1, f (0) =1;

...;

f (n)(0) = 1, то по формуле Маклорена (18) по-

лучаем

ex = 1 + x + x2

+ ... +

xn 1

e x;

0 < < 1.

(19)

(n 1)!

Если |x| < 1, то при n = 8 получаем R8

3 <

105

Вычислим теперь приближенно значение числа e и оценим по-

грешность приближения.

ИспользуембформулуА(19) при x = 1; n = 8, получаем

1 + 1 +

1 +

2,71828,

причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.

2. f (x) = sin x.

Решение.

Найдем

производные

до

(n + 1)-го порядка

для

функции f (x) = sinx и значения производных при x= 0:

f(x) = sinx;

f(0) = 0;

f (x) = cos x = sin (x + /2);

f (0) = 1;

220

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия