Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Примеры:

1.Найти точки экстремумов функции y 4 x2 x 4.

Решение. Функция не определена при x = 1. Найдем критические точки 1-го рода:

				4 x2 x 4							8x 1 x 1 1							4 x2 x 4
				4 x2 x 4							8x 1 x 1 1							4 x2 x 4
	y
	y																2
							x 1										2
							x 1										x 1
и																				4
					2
С4 x 8 x 5									.
					x 1 2				.
		Первая про зводная равна нулю при x2 2x																		5	0, т. е. при
		Первая про зводная равна нулю при x2 2x																			0, т. е. при
											x		5	;	x		1.
											x			;	x		1.
										1		2				2	2
	Найдем теперь вторую производную:
														Д
						4 x2		8 x 5				8x 8 x 1 2						4x2	8x 5			2 x 1
	y					бА
	y							2											4
							x 1											x 1
			18				.
			x 1 3				.
	Определим знаки второй производной в критических точках:
5					18										5
								0,	поэтому x								является точкой локального ми-

y				5		3									2
2				5		3									2			И
						1
				2

нимума.

206

	1				18					1
								0, поэтому x			является точкой локального

y	2				1	3				2
	2				1	3				2
						1
						1
					2
максимума.
С									x3	2x2 3x 1 на экстремум с
	2.		Исследовать функцию y							2x2 3x 1 на экстремум с
								3
помощью второй про зводной.
Решен е.					Найдём первую производную данной функции
условие
y x2		4x			3		реш м уравнение y x2 4x 3 0. Корни этого
уравнен			я x1 1; x2					3 – критические точки 1-го рода, в которых мо-
гут быть экстремумы функции, так как в них выполнено необходимое
			экстремума.
				бА
	Найдём вторую производную данной функции y 2x 4. Про-

верим, выполнены ли достаточные условия экстремума, т. е. определим знак второй про зводной в критических точках: y (1) 2 0; y (3) 2 0. Это позволяет сделать вывод, что x1 1 – точка максимума; x2 3 – точка минимума.

Вычислим значения функции в точках экстремума:

ymax y	1 21;	ymin y 3 1.
	Д
	2
III. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки
перегиба
График дифференцируемой функции			f (x) называется выпук-
лым (выпуклым вверх) на	некотором множестве Х, если он располо-
жен ниже любой своей касательной на Х(рис. 103).
График дифференцируемой функции			f (x) называется вогну-
тым (выпуклым вниз) на Х, если он расположен выше любой своей
касательной на Х (см. рис. 103).			И

На интервалах выпуклости и вогнутости касательные, проведенные к графику, не пересекают график функции.

Точка x с называется точкой перегиба, если в этой точке график меняет направление выпуклости.

207

С
функции					Рис. 103
точках Х.	бА
Касательная, проведенная к графику функции в точке перегиба,
пересекает граф к				в точке касания. На рис. 103 это точка А.
Теорема. Пусть			функция y f (x) определена на некотором
промежутке Х, про зводная					f (x) определена во всех внутренних
точках Х.					выпукла вверх (вниз) на Х, если и толь-
Тогда функция y f (x)
ко если производная		f		(x) у ывает (возрастает) во всех внутренних

Если f (x) 0 во всехДвнутренних точках Х, то функция y f (x) выпукла вверх на Х.

Если f (x) 0 во всех внутреннихИточках Х, то функция

y f (x) выпукла вниз на Х (рис. 104).Знакграфика

функции y f (x)

Рис. 104

208

Теорема (необходимое условие точек перегиба). Пусть график

функции y f (x)

имеет перегиб в точке с. Если функция y f (x)

имеет непрерывную вторую производную, то f (c) 0.

Доказательство.

По условию, функция y f (x) в точке с ме-

няет направление выпуклости, т. е. слева и справа от точки перегиба с

f (x)

имеет разные знаки. По условию, вторая

вторая производная

производная

f (x)

непрерывна, поэтому, по теореме Коши о проме-

жуточных значен ях непрерывной функции, получаем, что f (c) 0.

Замечан я:

1. Возможно,

что в некоторой точке с выполняется условие

f (c) 0. При этом точка с не о язательно является точкой перегиба.

Пр мер

Функц я y x4 переги ов не имеет, но при этом вторая произ-

воднаяприравна нулю x 0:

12 x2 0

при x 0.

y x4

4 x3

2. Функция y f (x)

может иметь перегиб и в точке, в которой

вторая производная не определена.

ПримербА

Функция y 3

определена на всей числовой оси. Вторая про-

изводная y

не определена при x 0,

Дx

но при этом вторая производная слева и справа от x 0 принимает

разные знаки, т. е. имеет разные направления выпуклости. Получаем,

что точка x 0 является точкой перегиба.

Точка

x с

называется критической точкой 2-го рода, если

имеет место одно из условий:

f (c) 0;

f (c)

или

f (c)

не существует.

Точки

перегиба

следует

искать

среди критических точек

2-го рода.

209

Теорема (достаточное условие существования точки переги-

ба). Пусть функция y f (x) непрерывна, дважды дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x c, за ис-

ключением, возможно, самой точки c. Пусть x c – критическая точ-

ка 2-го рода. Если при переходе аргумента через точку с вторая про-

изводная функции меняет знак, то данная критическая точка 2-го рода

является точкой перегиба.

Пр мер

функции

Определ ть

нтервалы выпуклости, вогнутости и точки переги-

ба граф ка функц

y = x2 e –x.

Решен е. Функц я определена при всех действительных x. Вычислим

вторую про зводную

f (x) = x 2 e –x:

бА

f ' (x) = 2 x e –x – x 2 e –x;

f '' (x) = 2e–x – 2xe–x – 2xe–x + x2e–x = e–x (2 – 4x + x2).

Найдем значения x, при которых f (x) = 0 и интервалы знако-

постоянства второй производной

f (c) :

f (x) = 0, e–x (2 – 4x + x2)= 0.

Найдем корни этого

2 0,58 и

уравнения:

x1= 2 –

x2 = 2 +

3,41.

Значения функции f (x) в точках x1, x2:

y1 = f (x1) 0,34

и y2 = f (x2) 0,38.

Результаты исследования внесем в табл. 2.

Таблица 2

( , 2

x1 2

x2 2

2, )

f (x)

f (x) > 0

f (x ) =0

f (x) < 0

f (x

) =0

f (x) > 0

f (x)

Кривая

M1(x1, y1) –

Кривая

M2(x2, y2) –

Кривая

вогнутая

точка

выпуклая

точка

вогнутая

перегиба

210

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия