Материал: 2277

С

графику

2

Рис. 100

Касательная

монотонно возрастающей функции обра-

зует с полож тельным направлением оси абсцисс острый угол или

параллельна ей (р

с. 100).

Касательная к графику монотонно убывающей функции образу-

ет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол или па-

раллельна ей (см. рис. 100).

Д

Пример

Определить

промежутки возрастания и убывания функции

y 2 x

x.

Решение. Функция определена при любых значениях переменной x.

Для нахождения

промежутков возрастания и убывания функции най-

дем ее производную:

И

y 4x 1.

Находим, при каких x производная положительна и отрица-

тельна:

1

y 4x 1 0

при x

;

4

y 4x 1 0

при x

1

.

4

Итак, функция возрастает на интервале

1

, функция

;

4

1

убывает на интервале

;

.

4

Говорят, что в точке c

Точки

если существует такая окрестность точки c, что для любой точки x из

этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (c) (рис. 101, а).

Точка c называется точкой локального минимума, если сущест-

бА

вует такая окрестность точки c, что для любого значения x из этой ок-

рестности верно услов е f (x) > f(c) (рис. 101, б).

локального максимума и минимума называются точками

экстремума.

Замечан е. Точки экстремума всегда являются внутренними

точками промежутка, т. е. не могут совпадать с его концами.

f c f x

И

f c f x

а

Рис. 101

б

Функц я y x3

экстремумов не имеет, однако ее производная

бА

y 3 x2 0

равна нулю при x 0.

2. Функц я может иметь экстремум и

в точке, в которой произ-

воднаялине определена равна есконечности.

Пр мер

x

в точке x 0 производная функции не определена. Действительно,

0 x

0

y 0 lim

1.

Д

x 0

x

Точка x c называется критической точкой 1-го рода при вы-

полнении одного из условий:

И

f

(c) 0;

f

(c)

f

(c)

или

не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция

y f (x) непрерывна,

интервала, содержащего точку x c,

за исключением, возможно, са-

мой точки c.

Если при переходе аргумента через критическую точку с

Знак

f (c)

Поведен е

функц

y f (x)

С

Рис. 102

Доказательство теоремы использует признак монотонности.

и

Пр мер

Исследовать на монотонность и экстремумы функцию

бА

x

Д

f (x) 2xe

x

e

xe

(2 x).

Тогда

f (x) 0

при x1 = 0 и

x2 = 2, т.е.

x1 , x2– критические

точки 1-го рода. Эти точки разбивают всю числовую ось на три ин-

тервала: (–

И

; 0), (0; 2), (2; + ). Составим табл. 1, в первой строке

которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке –

сведения о знаках и нулях производной f (x) в критических точках

и на интервалах, а в третьей – информацию о возрастании, убывании,

экстремумах данной функции f (x).

Таблица 1

0

f (x) > 0

0

f (x) < 0

ymin (0) 0

4

ymax(2)

Убывает

e2

С

4

x2

= 2 – точка максимума и

ymax(2)

0,54.

e2

Теорема (достаточный признак существования экстремума,

основанный на второй производной). Пусть x c – критическая

симума

f (c) 0. Тогда

точка для функц

y f (x), причем

а) если

f

(c) 0, то x c – точка локального минимума;

б) если

f (c) 0, то x c – точка локального максимума.

Доказательство. По условию,

f (c) 0. Пусть для определен-

ности

бА

f (c) 0. Покажем, что x c является точкой локального мак-

x 0

x

x 0

x

Так как f (c) 0, то предел

lim

0, поэтому су-

Д

x 0

x

ществует некоторая окрестность точки x c, во всех точках которой

верно неравенство

f c x 0.

x

Из этого

неравенства получаем,

что

если x 0, то

f (c x) 0,

что означает, что слева от точки с функция y f (x)

имеет положительную производную, т. е. функция возрастает.

Если x 0,

то

f (c x) 0, что означает, что справа от точ-

ки с функция

y f (x) имеет

отрицательную

производную, т. е.

функция убывает.

И

Получили, что при переходе через точку c слева направо знак

первой производной меняется с + на – . По признаку существования

экстремума это означает, что в точке

x c функция y f (x) имеет

локальный максимум.