Материал: 2277

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Свойства дифференциала функции

Если u (x), v (x) – дифференцируемые функции, тосправедливы следующиеформулы:

1. d (u + v) = du + dv.

2. d (u v) = u dv + v du.

вида

3. d

v u dv

0).

Сv

4. Инвар антность

дифференциала.

образом

функции y = f(x), где

Рассмотр м

д фференциал

сложной

x = (t), т. е. y = f ( (t)).

Тогда dy =

yt dt, но

так как

= yxxt ,

поэтому dy = yxxt dt.

Учитывая, что

xtdt = d x,

получаем

dy = yx d x = f (x) d x.

Таким

, дифференциал сложной функции y = f (x), где

x = (t), имеет вид dy = f

(x) dx,

такой же, как в том случае, когда x

является независимой переменной. Это свойство называется инвари-

антностью формы дифференциала.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Посмотрите видеоА8.

4.3. ПРОИЗВОДНЫЕ И

ВЫСШ Х

ПОРЯДКОВ. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

§ 40. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некото-

ром промежутке X, тогда ее производная

f (x) также является функ-

цией от x на этом промежутке. Если

(x)

имеет производную на

промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается y'' или f (x).

Итак, f (x) = ( f (x))'.

Вообще производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается y(n) или f (n) (x). Итак,

191

f (n) (x) = (f (n--1) (x))'.

Производные y'', y''', ... называются производными высших порядков.

Примеры:

. Найти f (x) и f (4).

1. f

(x) =

Решен е.

Выч сляем производные:

1/2

f (x)

;

f (x) = –

x 3/2

;

бА

f (x) =

x 5/2 =

При x = 4 получаем

(4) =

8 25 =

256.

2. Найти производную n-го порядка для функции y e3x.

Решение.

;

3 3e

;

y''' =3

По аналогии находим y

(n)

Дn 3x

e .

Механический смысл второй производной

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = S (t). В момент времени t + t скорость получит приращение

V = V(t + t) – V(t).

192

Отношение V называется средним ускорением за время t.

Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда t 0:

С				V
		a =	lim		, т.е. a = V'(t) = (S(t))' = S''(t).
			t 0	t
	ледовательно, ускорение при прямолинейном движении равно
рассмотрению
второй про зводной от пути по времени:
					a = S'' (t).
		бА
	Перейдем к					дифференциалов высших порядков.
	Пусть y = f (x);		x X. Дифференциал этой функции y = f '(x) dx
является функц ей от x; dx – приращение аргумента x не зависит от x.
	Д фференц ал от дифференциала функции называется диффе-
ренциалом второго порядка и о означается d 2y или d 2f(x).
	Итак,
				d 2y = d (dy),
но						Д
но

				dy= f (x)dx,			И
поэтому							И
		2						f	2
		d y = d ( f		(x)dx) = ( f (x)dx)dx =				f	(x)(dx) .

Будем вместо (dx)2 писать dx2.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n –1)-го порядка

d ny = d (d n – 1 y) = d (f (n – 1) (x)dxn – 1) = f (n)(x) dx n.

Итак,

d ny = f (n)( x) dx n.

193

Отсюда

		(n)	dn y
	f	(x) =		.
			dxn
Примеры:
С
1. Найти d 3y для функции y = cos2x.
Решен е. d 3y = y''' dx 3. Вычислим			y''', находя последовательно y',
y'', y''':
и
	y' = (cos2x)' = –2cosxsinx = –sin2x;
	y'' = (–sin2x)' = –2cos2x;
бА
		y''' = 4sin2x.

Следовательно, d 3y = 4sin2x dx 3.

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 531.

Решение. Используем приближённое равенство

				f (x) df							(x) f
				f (x) df							(x) f	(x) x,
верное при малых значениях x . Откуда
		f (x
		f (x				0	x) Дf (x ) f (x ) x.
						0					0		0
Преобразуем сначала исходное выражение

5			5									1				1
5			5									1				1
	31				32 1						32(1		) 2 1				И.
										5			5
											32		32
	f (x) 5								; x0		1; x			1	. Производная равна
Положим								x						1
Положим								x
													32

194

								f (x)							1			; f (1)					1.

																	x4
										55							x4
Окончательно имеем 5														2(1 1 (									1		))				31			1				15			.
												31											1						31							15
												31											32
																							32					16							16
3. Найти вторую производную функции y																																	x				.
3. Найти вторую производную функции y																																					.
																														x2 1
Решен е. начала находим первую производную:
и
								x						x2 1 2x2												1 x2								.
Сy																(x2 1)2																		.
					x2			1								(x2 1)2								(x2 1)									2
Теперь выч сляем вторую производную:
		1 x2								2x(x2 1)2 4x(1 x2)(x2 1)
		1 x2								2x(x2 1)2 4x(1 x2)(x2 1)
	y
	y			2			2														2						4
		(x		2	1)		2												(x		2		1)				4
		(x			1)														(x				1)
	2x(x2	1) 4x(1 x2)														2x3 2x 4x 4x3																						2x3				2x		.
	(x		2		1)	3													(x	2		1)				3												(x		2	1)		3	.
			2			3														2						3														2			3

	бАx a(t sint);
4. Для параметрически заданной функции																																												най-
																												y a(1 cost)
тивторую производную y .																							И
																							И
Решение. Вычислим первую производнуюДданной функции.
Имеем
					yt			= a sin t;									xt	= a (1 – cost);
					yx			yt					asint										sint
									=										=												.
								xt	=		a(1 cost)								=		(1 cost)										.

Итак, производная первого порядка имеет вид

195

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия