Материал: 2277

sin x

(sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x).

С

Продифференцируем

преобразуем функц ю:

и

sin x ln sin x

y (sin x)

sin x

e

ln sin x sinx

.

e

Теперь спользуем

формулу

дифференцирования

сложной

функц

:

y (sin x)sin x

esin x ln sin x

esin x ln sin x (sin xlnsin x)

sin x

(sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x).

Д

Получилиб, что А

y

(sin x)

sin x

sin x

(cosxlnsin x sin x ctg x).

(sin x)

f (x0 ) = lim

.

x 0

x

x

имеем f(x0 + x) – f(x0) <

0.

Отсюда,

если x

> 0, то

< 0, а поэтому

0 .

x

f (x )

С0

то

же пр ращение аргумента отрицательно x < 0,

f (x0) 0.

x

f (x0)

Так

как

– определенное число,

то

получаем,

что

f (x0)= 0, что

тре овалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Ферма

На рис. 96 изо ражена непрерывная функция.

y

бА

M

y f (x)

Д

m

0

x1

x2

b

x

a

И

Итак, касательные к графику функции y = f (x) в точках экс-

тремума x1

и x2

параллельны оси Ox.

непрерывна на отрезке

Теорема Ролля. Если

функция f (x)

[a, b], д фференц руема в каждой точке интервала (a, b) и f (a) = f(b),

то

существует

по

крайней

мере

одна внутренняя точка x0 отрезка

[a, b], такая, что f ' (x0) = 0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a, b],

С

то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке своего

Если M = m, то функция f (x) постоянна на отрезке [a, b], а пото-

му

f ' (x) = 0 в лю ой точке x (a, b).

Рассмотр м

случай,

когда

M > m.

Так как, по условию,

наибольшего

f(a) = f(b), то л

о на

ольшее значение M, либо наименьшее значе-

ние m, л бо

M,

x0

(a, b). Выполнены

все

условия теоремы Ферма и поэтому

y

Д

И

M

y = f(x)

f(a) = f(b)

0

x0

b

x

a

Рис. 97

С

f (x0 )=

f (b) f (a)

.

(9)

b a

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

[aфункции, b] непрерывны f(x) и (x – a).

b a

Покажем, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям тео-

бА

ремы Ролля.

Действ тельно, функция F(x) непрерывна на [a,

b], так как на

Про зводная F ' (x) имеет вид

F '

.

(10)

(x) = f (x) –

b a

Производная существует в интервале (a, b), как и производная

f (x). Вычислим значения F(x) на концах отрезка [a, b]:

F(a) = f(a) – f (b) f (a)(a – a) = f(a);

b a

И

F(b) = f(b) – f (b) f (a)(b – a) = f (b) – f

(b) + f (a) = f (a).

b a

Д

Значит, F(a) = F(b).

Все условия теоремы Ролля выполнены для функции F(x). По

теореме Ролля найдется точка x0

вив x0 в равенство (10), получим

f (x0 )=

.

b a

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

y

B

M0

С

A

f(b)

f(a)

0

a

x0

b

x

и

Рис. 98

Отношение

f (b) f (a)

есть угловой коэффициент tg хорды

найдется хотя бы одна точка M0, в которой касательная к графику

параллельна хорде AB.

И

Заметим, что равенство (9) можноДзаписать в виде

f

(b) – f (a) = f (x0)(b – a).

(11)

Формулу (11) называют формулой Лагранжа и

читают: прира-

щение дифференцируемой функции на отрезке a,b

равно длине от-

резка, умноженной на значение производной от этой функции в неко-

торой внутренней точке сегмента.

Обозначив x0 = c;

a = x0; b – a = x; b = x0 + x, из формулы

(11) получаем формулу