Материал: 2277

С

u

Подставим сюда y = u v, найдем производную

y' = u v ln u v'+ v u v–1 u'.

Найти

ским д фференц рован ем.

Пр мер

y

бАy' = x cos x ln x + sin x x .

xsin x

(x

> 0).

y'.

Решен е.

Прологар фмируем

равенство ln y = sin x

ln x, получим

(ln y)' = (sin x ln x)'. Теперь вычисляем производные и выражаем y':

1 y' = cos x ln x + sin x 1;

y

x

y' = xsin x

(cos x ln x + sin x

1

),

x

или

Д

sin x

sin x 1

Заметим, что производную показательно-степенной функции

y = u(x)v(x), где u(x)

> 0; u(x),

v(x) – дифференцируемые функции,

можно вычислить другим способом.

Предварительно преобразуем функцию:

y u

v

e

ln uv

e

v ln u

.

Теперь

можно

продифференцировать

Иданную явно заданную

функцию как сложную.

v ln u

v ln u

v ln u

1

y e

e

ln u ln u e

ln u

u .

u

y xsin x eln xsin x

esin x ln x .

Д фференц руем ее теперь как сложную функцию:

С

sin x ln x

sin x ln x

y e

e

sin

x

ln x =

=e

sin x ln x

1

cosx ln x sin x

=

и

x

=xsin x cosx ln x sin x 1

.

x

кости, в котором переменные x, y являются функциями третьей пере-

Д

x (t);

t X.

y g(t),

И

Функция x = (t) на некотором интервале изменения t имеет об-

ратную функцию t = 1(x).

Тогда

y = g( 1(x)). Пусть x = (t);

0.

На

По правилу дифференцирования сложной функции,

yx yt tx .

основании правила

дифференцирования

обратной

функции

tx

1

, поэтому

xt

yx

yt

при x = (t).

xt

Итак, производная параметрически заданной функции имеет вид

С

y

yx

t

;

xt

чески

x (t).

Получена формула производной функции, заданной параметри-

.

бА

Пр меры:

1. Пусть функц я y, зависящая от x, задана параметрически:

x acost;

0 t

2 .

y bsint,

Найти yx .

yt

bcost

b

Д

= –a ctg t ;

x

acost .

Получили производную:

И

x acost;

b

yx

ctg x.

a

2. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке

M0, соответствующей значению параметра t0 =

.

4

Поэтому yt = a sin t;

xt

= a (1 – cost);

yx

yt

asint

sint

=

=

.

xt

a(1 cost)

(1 cost)

Итак, производная циклоиды –

x a(t sint);

sin t

y

.

при

1 cos t

Угловой коэфф ц ент касательной в точке M0

равен значению

бА

yx

t0

=

:

4

sin

2

2

2(2

2)=

2

2 2

k =

4

=

2

=

=

=

2

+1,

1 cos

1

2

2

2

4 2

2

4

2

Д

k =

3. Продифференцировать неявно заданную функцию

2xy2 x2 y x2 2 0.

x

И

Решение. Продифференцируем обе части данного уравнения по пере-

менной x, учитывая при этом, что y является функцией аргумента х.

Получим

(2xy

2

x

2

y x

2

2)

2y

2

4xyy

2xy x

2

y

2x 0.

Из этого равенства выразим производную yx :

4xyy x2y 2xy 2y2

2x,

С

4.

Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

x 2cost2;

y sint 3t.

ческиy

.

Решен е. Используем правило дифференцирования функции, задан-

ной параметр

:

yx

yt . Получим

xt

бА

(sint

cost 3

3 cost

2

2

2

x

(2cost

2( sint

) 2t

4tsint

)

Итак,

3 cost

;

yx

4tsint2

Д

5. Найти производную функции y (sin x)sin x с помощью лога-

рифмического дифференцирования.

И

ln y ln(sin x)sin x;

y

sin x

(ln(sin x)

) ;

y

y (sin xlnsin x) ;