Материал: 2277

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время; S – путь, проходимый точкой за время t.

M0 M

	S0	S		S	S


		Рис. 95
Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0
С
( . 95). Постав м задачу: определить скорость материальной точки
в момент t0. Рассмотр м другой			момент времени			t0 + t. За время t0
пройденный точкой путь равен			S0 = f (t0), за (t0 +			t) пройдено рас-
стояние S = f(t0 + t)	точка оказалась в положении M, тогда за время
t пройден путь M0M	он равен
рис
S – S0 = f (t0 + t) – f(t0) = S.
Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна							S	. Но
Средняя скорость Vср за пpомежуток времени t равна								. Но
							t

средняя скоростьбАможет быть различной, в зависимости от промежутка времени t. Скоростью V(t0) в момент времени t0 называется предел средней скорости Vср при t 0. Итак,

			V(t		) lim		S			).
			V(t	0	) lim		S (t		0	).
				0		t 0	t		0
						Д
Производная от S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в
момент времени t0.										И
Посмотрите видео 6.

§ 35. Производные некоторых элементарных функций
Пусть функция y = f (x) определена на некотором промежутке X
и f(x)	дифференцируема					в	точке	x0 X, т.е. производная
f (x0)	lim	y	существует.
f (x0)	lim		существует.
	x 0 x

166

Производная функция от функции f (x), по определению, имеет

вид

f (x x) f (x)

(x) lim

x 0

Вычислим производные некоторых элементарных функций.

1. f(x) = с – постоянное число. Тогда (c)' = 0. Действительно,

f (x x) f (x)

lim

c c

lim 0 0.

Сf (x) lim

x 0

x 0 x

x 0

(x)' = 1. Действительно,

(x x) x

lim

1 1.

(x) lim

x 0

x 0 x

x 0

(

. Действительно,

x x x

x x

(

lim

бА

x 0

lim

x 0

x x x 2 x

. Действительно,

f (x x) f (x)

x x

lim

x 0

lim

x (x x)

lim

x 0 x(x x) x

x 0 x(x x)

167

5.(sin x)' = cos x. Действительно,

sin(x x) sinx

2sin

cos(x

)

(sin x) lim

lim

С2

x 0

sin

lim

lim cos(x

) 1 cos x cosx.

x 0

Аналог чно доказывается, что (cos x)' = –sin x.

бА

и7. a a ln a. Действительно,

ax x ax

a x(a x 1)

a x 1

) lim

lim

x 0

ax lna.

Здесь при вычислении предела использована эквивалентность

a 1~ lna (при 0).

При a = e получаем формулу e

§ 36. Основные правила дифференцирования

Установим правила дифференцирования.

Теорема 1. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их сумма дифференцируема в этой точке, причем

(u(x) + v(x))' = u'(x)+v'(x).

Теорема 2. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x, то их произведение дифференцируемо в этой точке, причем

168

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак

производной, т. е.

(C f(x))' = C f (x).

Доказательство. Используем теорему 2:

(C f(x))' = C f x C f (x) =

0 f x C f (x) = C f (x).

Теорема 3.

функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x

и v(x) 0, то

х частное дифференцируемо в этой точке, причем

u(x)

(x) v

(x) u(x) v (x)

Если

(x)

v(x)

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций

tg x и ctg x.

Пример

Покажем, что (tg x)

cos

бА

Итак, получили формулу

(tg x)

. Аналогично находит-

cos2 x

ся производная (ctg x)

.Действительно

sin2 x

Пусть y = f (u(x)является сложной функцией, составленной из

функций y = f (u);

u = (x),

где u – промежуточный аргумент.

Теорема 4. Если функция u

(x)имеет производную

Иx

точке x, а функция y = f (u) имеет производную yu

в точке u

= (x),

то сложная функция y = f (u(x))

в точке x имеет производную

yx ,

причем

sinx

(sinx) cosx sinx(cosx)

cos2

x sin2 x

(tgx)

cos

cosx

169

yx = yu ux .

Иначе: производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на про-

изводную промежуточного аргумента.
	помощью теоремы 4 найдем производную степенной функции
y x , где – постоянное число.
	По свойствам логарифмов			x	eln x		e ln x , поэтому
	ln x
Сx e является сложной функцией от x: y = e u ; u = ln x. По
теореме 4
	бА
	y (x ) yu ux eu	e ln x			x	1	x 1.
иx				x		x
	Итак, получена формула	x	x 1.

Теорема 5 (правило дифференцирования обратной функции). Пусть функция y = f (x) определена на промежутке X, непрерывна, монотонна (возрастает или убывает) и дифференцируема на X. Если

ее производная yx		в точке x не равна нулю, то обратная функция
x f 1( y) имеет производную xy								в точке y , причем
							xy	1
							xy	yx .
							Д
На основании теоремы 5 можно получить следующие формулы:
1.	(arcsinx)		1			.			И
1.	(arcsinx)					.
		1 x2
2.	(arccosx)				1		.
2.	(arccosx)						.
				1 x2

170

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_3 тема - Диффузия

Материал: 2277

§ 35. Производные некоторых элементарных функций

§ 36. Основные правила дифференцирования

Смотрите также: